Страница 59 номер 6.36, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 5) = x - 9\); 2) \(\log_{3}^{2} x + (x - 1)\log_{3} x = 12 - 3x\).
1) ОДЗ: \((5;\ +\infty)\). Основание логарифма меньше единицы, поэтому функция \(f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x - 5)\) убывающая, а \(g(x) = x - 9\) возрастающая, и уравнение \(f(x) = g(x)\) имеет не более одного корня. Так как \(f(8) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1\) и \(g(8) = -1\), единственный корень — число 8.
2) ОДЗ: \((0;\ +\infty)\). Запишем уравнение в виде \(\log_3^2 x + (x - 1)\log_3 x + 3x - 12 = 0\) — квадратное относительно \(\log_3 x\). Дискриминант равен \[(x - 1)^2 - 4(3x - 12) = x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2,\]
поэтому \(\log_3 x = \frac{1 - x + (x - 7)}{2} = -3\) или \(\log_3 x = \frac{1 - x - (x - 7)}{2} = 4 - x\): \[\left[\begin{array}{l} \log_3 x = -3, \\ \log_3 x = 4 - x. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности даёт \(x = \frac{1}{27}\).
Во втором уравнении функция \(y = \log_3 x\) возрастающая, а функция \(y = 4 - x\) убывающая, поэтому оно имеет не более одного корня; так как \(\log_3 3 = 1\) и \(4 - 3 = 1\), этот корень равен 3.
Оба числа положительны, то есть принадлежат ОДЗ.
Ответ: 1) 8; 2) \(\frac{1}{27}\); 3.
Решите уравнение: 1) \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 5) = x - 9\); 2) \(\log_{3}^{2} x + (x - 1)\log_{3} x = 12 - 3x\).
1) Область определения уравнения — промежуток \((5;\ +\infty)\).
Рассмотрим функции \(f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x - 5)\) и \(g(x) = x - 9\). Основание логарифма меньше единицы, поэтому функция \(f\) убывающая, а функция \(g\) возрастающая. Значит, уравнение \(f(x) = g(x)\) имеет не более одного корня.
Так как \(f(8) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1\) и \(g(8) = -1\), то \(x = 8\) — единственный корень данного уравнения.
2) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\).
Запишем уравнение в виде \(\log_3^2 x + (x - 1)\log_3 x + 3x - 12 = 0\) и будем рассматривать его как квадратное относительно \(\log_3 x\). Дискриминант равен \[(x - 1)^2 - 4(3x - 12) = x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2.\]
Значит, \(\log_3 x = \frac{1 - x + (x - 7)}{2} = -3\) или \(\log_3 x = \frac{1 - x - (x - 7)}{2} = 4 - x\), и данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} \log_3 x = -3, \\ \log_3 x = 4 - x. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности даёт \(x = \frac{1}{27}\).
Во втором уравнении функция \(y = \log_3 x\) возрастающая, а функция \(y = 4 - x\) убывающая, поэтому оно имеет не более одного корня. Так как \(\log_3 3 = 1\) и \(4 - 3 = 1\), этот корень равен 3.
Оба найденных числа положительны, то есть принадлежат области определения.
Ответ: 1) 8; 2) \(\frac{1}{27}\); 3.
