Страница 59 номер 6.37, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(\lg^{2}(x + 1) = \lg(x + 1)\lg(x - 1) + 2\lg^{2}(x - 1)\).
ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0, \\ x - 1 > 0; \end{cases}\] это промежуток \((1;\ +\infty)\).
Пусть \(\lg(x + 1) = u\), \(\lg(x - 1) = v\): \(u^2 - uv - 2v^2 = 0\); \((u - 2v)(u + v) = 0\). Делить на \(v^2\) нельзя: значение \(v = 0\) достигается при \(x = 2\), поэтому разложение на множители обязательно. Уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} \lg(x + 1) = 2\lg(x - 1), \\ \lg(x + 1) + \lg(x - 1) = 0. \end{array}\right.\]
Первое уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 1 = (x - 1)^2, \\ x > 1; \end{cases}\] отсюда \(x^2 - 3x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 3\), и условию \(x > 1\) удовлетворяет только 3.
Второе равносильно системе \[\begin{cases} (x + 1)(x - 1) = 1, \\ x > 1; \end{cases}\] отсюда \(x^2 = 2\); \(x = -\sqrt{2}\) или \(x = \sqrt{2}\), и условию \(x > 1\) удовлетворяет только \(\sqrt{2}\).
Ответ: \(\sqrt{2}\); 3.
Решите уравнение \(\lg^{2}(x + 1) = \lg(x + 1)\lg(x - 1) + 2\lg^{2}(x - 1)\).
Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x + 1 > 0, \\ x - 1 > 0. \end{cases}\]
Множеством её решений является промежуток \((1;\ +\infty)\).
Пусть \(\lg(x + 1) = u\), \(\lg(x - 1) = v\). Уравнение принимает вид \[u^2 - uv - 2v^2 = 0; \qquad (u - 2v)(u + v) = 0.\]
Делить обе части на \(v^2\) нельзя: значение \(v = 0\) достигается при \(x = 2\), поэтому разложение на множители обязательно.
Данное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} \lg(x + 1) = 2\lg(x - 1), \\ \lg(x + 1) + \lg(x - 1) = 0. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности равносильно системе \[\begin{cases} x + 1 = (x - 1)^2, \\ x > 1. \end{cases}\]
Отсюда \(x^2 - 3x = 0\); \(x = 0\) или \(x = 3\), и условию \(x > 1\) удовлетворяет только \(x = 3\).
Второе уравнение совокупности равносильно системе \[\begin{cases} (x + 1)(x - 1) = 1, \\ x > 1. \end{cases}\]
Отсюда \(x^2 = 2\); \(x = -\sqrt{2}\) или \(x = \sqrt{2}\), и условию \(x > 1\) удовлетворяет только \(x = \sqrt{2}\).
Ответ: \(\sqrt{2}\); 3.
