Страница 59 номер 6.40, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x\log_{x + 1} 5 \cdot \log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}}(x + 1) = \frac{x - 4}{x}\); 2) \(\log_{1 + x + \sin x}(x^2 + x - 1) = \log_{1 + x + \sin x}(3x + 2)\).
1) ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0, \\ x + 1 \ne 1, \\ x \ne 0; \end{cases}\] то есть \(x > -1\) и \(x \ne 0\).
Произведение логарифмов от \(x\) не зависит: \(\sqrt[3]{\frac{1}{5}} = 5^{-\frac{1}{3}}\), поэтому \(\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}}(x + 1) = \frac{\log_5 (x + 1)}{-\frac{1}{3}} = -3\log_5 (x + 1)\), а \(\log_{x + 1} 5 = \frac{1}{\log_5 (x + 1)}\), и произведение равно \(-3\).
Уравнение принимает вид \(-3x = \frac{x - 4}{x}\); \(-3x^2 = x - 4\); \(3x^2 + x - 4 = 0\). Дискриминант равен \(1 + 48 = 49\), значит, \(x = -\frac{4}{3}\) или \(x = 1\). Число \(-\frac{4}{3}\) меньше \(-1\) и ОДЗ не принадлежит, остаётся \(x = 1\).
2) Основание \(1 + x + \sin x\) должно быть положительным и отличным от единицы, то есть \(x + \sin x \ne 0\). При \(0 < x \leqslant \pi\) имеем \(\sin x \geqslant 0\), поэтому \(x + \sin x > 0\); при \(x > \pi\) имеем \(x + \sin x \geqslant x - 1 > 0\); для отрицательных значений рассуждение то же, и \(x + \sin x < 0\). Значит, условие «основание не равно единице» означает \(x \ne 0\).
Логарифмы по одному основанию равны только при равных положительных аргументах, поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 + x - 1 = 3x + 2, \\ 3x + 2 > 0, \\ 1 + x + \sin x > 0, \\ x \ne 0. \end{cases}\]
Первое уравнение даёт \(x^2 - 2x - 3 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 3\). При \(x = -1\) получаем \(3x + 2 = -1 < 0\) — не подходит. При \(x = 3\) имеем \(3x + 2 = 11 > 0\) и \(1 + 3 + \sin 3 > 0\), так как \(\sin 3 > -1\); условие \(x \ne 0\) тоже выполнено.
Ответ: 1) 1; 2) 3.
Решите уравнение: 1) \(x\log_{x + 1} 5 \cdot \log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}}(x + 1) = \frac{x - 4}{x}\); 2) \(\log_{1 + x + \sin x}(x^2 + x - 1) = \log_{1 + x + \sin x}(3x + 2)\).
1) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x + 1 > 0, \\ x + 1 \ne 1, \\ x \ne 0. \end{cases}\]
Это означает, что \(x > -1\) и \(x \ne 0\).
Произведение логарифмов от \(x\) не зависит. Действительно, \(\sqrt[3]{\frac{1}{5}} = 5^{-\frac{1}{3}}\), поэтому \(\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}}(x + 1) = \frac{\log_5 (x + 1)}{-\frac{1}{3}} = -3\log_5 (x + 1)\), а \(\log_{x + 1} 5 = \frac{1}{\log_5 (x + 1)}\). Значит, это произведение равно \(-3\).
Уравнение принимает вид \(-3x = \frac{x - 4}{x}\). Умножив обе части на \(x\), получаем \(-3x^2 = x - 4\); \(3x^2 + x - 4 = 0\). Дискриминант равен \(1 + 48 = 49\), значит, \(x = -\frac{4}{3}\) или \(x = 1\). Число \(-\frac{4}{3}\) меньше \(-1\) и области определения не принадлежит, остаётся \(x = 1\).
2) Основание логарифмов равно \(1 + x + \sin x\). Оно должно быть положительным и отличным от единицы, то есть \(x + \sin x \ne 0\). При \(0 < x \leqslant \pi\) имеем \(\sin x \geqslant 0\), поэтому \(x + \sin x > 0\); при \(x > \pi\) имеем \(x + \sin x \geqslant x - 1 > 0\). Для отрицательных значений рассуждение то же, и \(x + \sin x < 0\). Значит, условие «основание не равно единице» означает \(x \ne 0\).
Логарифмы по одному и тому же основанию равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы, причём эти аргументы положительны. Поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 + x - 1 = 3x + 2, \\ 3x + 2 > 0, \\ 1 + x + \sin x > 0, \\ x \ne 0. \end{cases}\]
Первое уравнение системы даёт \(x^2 - 2x - 3 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 3\). При \(x = -1\) получаем \(3x + 2 = -1 < 0\) — это число не подходит. При \(x = 3\) имеем \(3x + 2 = 11 > 0\) и \(1 + 3 + \sin 3 > 0\), так как \(\sin 3 > -1\); условие \(x \ne 0\) также выполнено.
Ответ: 1) 1; 2) 3.
