Страница 244 номер 917, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
В квадрат со стороной \(a\) вписан квадрат, вершинами которого являются середины сторон первого квадрата, во второй квадрат вписан третий, вершинами которого являются середины сторон второго, и т. д. (рис. 105). Найдите сумму площадей всех квадратов.
Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(s = a^{2}\)
Квадрат стороны второго квадрата равен
\(a_{2}^{2} = \left( \dfrac{a}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{a}{2} \right)^{2} = \dfrac{a^{2}}{4} \cdot 2 = \dfrac{a^{2}}{2}\)
Квадрат стороны квадрата равен его площади.
Можно получить формулу площади \(n\)-го квадрата.
\(s_{n} = \dfrac{a^{2}}{2^{n - 1}}\)
Первый член прогрессии \(s_{1} = a^{2}\)
Знаменатель \(q = \frac{1}{2}\)
Сумма всех площадей
\(S = \dfrac{s_{1}}{1 - q} = \dfrac{a^{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{2a^{2}}{2 - 1} = 2a^{2}\)
Ответ: Сумма площадей всех квадратов равна \(2a^{2}\).
