9класс
Страница 243 номер 908, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Глава 4. Числовые последовательности. §26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1. Страница 243. Номер 908
Задание / условие:
(Задача Ферма́.) Покажите, что если \(S\) является суммой бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), то \(\frac{S}{S - b_1} = \frac{b_1}{b_2}\).
Решение:
Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q}\)
Знаменатель прогрессии \(q = \frac{b_{2}}{b_{1}}\)
Исходное тождество
\(\dfrac{S}{S - b_{1}} = \dfrac{b_{1}}{b_{2}}\)
Преобразуем левую часть тождества
\(\dfrac{b_{1}}{1 - q}:\left( \dfrac{b_{1}}{1 - q} - b_{1} \right) = \dfrac{b_{1}}{1 - q} \cdot \dfrac{1 - q}{b_{1} - b_{1}(1 - q)} = \dfrac{b_{1}}{1 - q} \cdot \dfrac{1 - q}{b_{1}(1 - 1 + q)} =\)
\(= \dfrac{1}{q} = \dfrac{b_{1}}{b_{2}}\)
Тождество доказано
