Страница 244 номер 919, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
В квадрат со стороной \(a\) вписана окружность радиуса \(r_{1} = \frac{a}{2}\).
В окружность радиуса \(r_{1}\) вписан квадрат со стороной
\(a_{1} = \sqrt{2}r_{1} = \sqrt{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}\)
Новая окружность радиуса \(r_{2} = \frac{a_{1}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}\)
Периметры квадратов \(p_{1} = 4a;\ p_{2} = 4a_{1} = 4 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}a\);
\(q = \dfrac{2\sqrt{2}a}{4a} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(S = \dfrac{4a}{1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2 \cdot 4a}{2 - \sqrt{2}} = \dfrac{8a \cdot (2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = 4a(2 + \sqrt{2})\)
Площади квадратов \(s_{1} = a^{2};\ s_{2} = a_{1}^{2} = \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^{2} = \frac{a^{2}}{2}\)
\(S = \dfrac{a^{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{2a^{2}}{2 - 1} = 2a^{2}\)
Длины окружностей
\(l_{1} = 2\pi r_{1} = 2\pi \cdot \dfrac{a}{2} = \pi a;\ l_{2} = 2\pi r_{2} = 2\pi \cdot \dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\pi a}{\sqrt{2}}\)
\(S = \dfrac{l_{1}}{1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}l_{1}}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{\sqrt{2}\pi a\left( \sqrt{2} + 1 \right)}{2 - 1} = \pi a(2 + \sqrt{2})\)
Площади кругов
\(s_{1} = \pi r_{1}^{2} = \pi \cdot \dfrac{a^{2}}{4};\ s_{2} = \pi r_{2}^{2} = \dfrac{\pi a^{2}}{4 \cdot 2}\)
\(S = \dfrac{s_{1}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\pi a^{2}}{4} \cdot \dfrac{2}{2 - 1} = \dfrac{\pi a^{2}}{2}\)
Ответ:
Периметры квадратов \(S = 4a(2 + \sqrt{2})\)
Площади квадратов \(S = 2a^{2}\)
Длины окружностей \(S = \pi a(2 + \sqrt{2})\)
Площади кругов \(S = \frac{\pi a^{2}}{2}\)
