Страница 244 номер 920, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Глава 4. Числовые последовательности. §26. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1. Страница 244. Номер 920

Задание / условие:

Постройте график функции \(y = x^2 + \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} + \ldots\), где \(x \ne 0\).

Решение:

\(y = x^{2} + \dfrac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \dfrac{x^{2}}{\left( 1 + x^{2} \right)^{2}} + \ldots\)

Функция является суммой бесконечной геометрической прогрессии, где

Первый член \(b_{1} = x^{2}\)

Знаменатель \(q = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}}\)

Так как \(x \neq 0\), то \(1 + x^{2} > 1\), значит, \(0 < q < 1\)

\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{x^{2}}{1 - \dfrac{1}{1 + x^{2}}} = \dfrac{x^{2} \cdot \left( 1 + x^{2} \right)}{1 + x^{2} - 1} = \dfrac{x^{2} \cdot (1 + x^{2})}{x^{2}} = 1 + x^{2}\)

Исходная функция примет вид

\(y = 1 + x^{2}\) при \(x \neq 0\)

график