Страница 250 номер 928, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что неравенство является верным: 1) \(a^5 - 5 \ge 5a^4 - a\), если \(a \ge 5\); 2) \(b^3 + b + 2 \ge 0\), если \(b \ge -1\); 3) \(c^3 + c \le 3c^2 + 3\), если \(c \le 3\).
1) \(a^{5} - 5 \geqslant 5a^{4} - a\), если \(a \geqslant 5\)
\(a^{5} - 5a^{4} + a - 5 \geqslant 0\)
\(a^{4}(a - 5) + (a - 5) \geqslant 0\)
\(\left( a^{4} + 1 \right)(a - 5) \geqslant 0\)
Первый множитель положителен при любом \(a\)
При \(a \geqslant 5\) второй множитель неотрицателен
Неравенство верно
2) \(b^{3} + b + 2 \geqslant 0\), если \(b \geqslant - 1\)
\(b^{3} - b + 2b + 2 \geqslant 0\)
\(b\left( b^{2} - 1 \right) + 2(b + 1) \geqslant 0\)
\(b(b - 1)(b + 1) + 2(b + 1) \geqslant 0\)
\((b + 1)\left( b(b - 1) + 2 \right) \geqslant 0\)
\((b + 1)\left( b^{2} - b + 2 \right) \geqslant 0\)
Первый множитель при \(b \geqslant - 1\) неотрицателен.
Второй множитель имеет дискриминант \(D < 0\), т.е. положителен при любом \(b\).
Неравенство верно
3) \(c^{3} + c \leqslant 3c^{2} + 3\), если \(c \leqslant 3\)
\(c^{3} + c - 3c^{2} - 3 \leqslant 0\)
\(c^{2}(c - 3) + (c - 3) \leqslant 0\)
\(\left( c^{2} + 1 \right)(c - 3) \leqslant 0\)
Первый множитель положителен при любом \(c\).
Второй множитель неположителен при \(c \leqslant 3\)
Произведение положительного и неположительного числа неположительно.
Неравенство верно
