Страница 244 номер 921, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Постройте график функции \(y = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{(1 + \sqrt{x})^2} + \ldots\), где \(x > 0\).
\(y = \sqrt{x} + \dfrac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\left( 1 + \sqrt{x} \right)^{2}} + \ldots\)
Функция является суммой бесконечной геометрической прогрессии, где
Первый член \(b_{1} = \sqrt{x}\)
Знаменатель \(q = \frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}\)
Так как \(x > 0\), то \(1 + \sqrt{x} > 1\), значит, \(0 < q < 1\)
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{\sqrt{x}}{1 - \frac{1}{1 + \sqrt{x}}} = \dfrac{\sqrt{x} \cdot \left( 1 + \sqrt{x} \right)}{1 + \sqrt{x} - 1} = \dfrac{\sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} = 1 + \sqrt{x}\)
Исходная функция примет вид
\(y = 1 + \sqrt{x}\) при \(x > 0\)
Ответ: \(y = 1 + \sqrt{x}\) при \(x > 0\).
