Страница 243 номер 900, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Представьте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 1) \(0{,}1111\ldots\); 2) \(0{,}(5)\); 3) \(0{,}(24)\); 4) \(0{,}416416416\ldots\); 5) \(0{,}2666\ldots\); 6) \(0{,}6252525\ldots\); 7) \(1{,}181818\ldots\); 8) \(2{,}3(36)\).
1) 0,1111…=0,1+0,01+0,001+0,0001+…
Первый член прогрессии \(b_{1} = 0{,}1\)
Знаменатель прогрессии \(q = \frac{0{,}01}{0{,}1} = 0{,}1\)
Сумма \(S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0{,}1}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}1}{0{,}9} = \frac{1}{9}\)
2) 0,(5)=0,5555…=0,5+0,05+0,005+…
Первый член \(b_{1} = 0{,}5\)
Знаменатель \(q = \frac{0{,}05}{0{,}5} = 0{,}1\)
Сумма \(S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0{,}5}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}5}{0{,}9} = \frac{5}{9}\)
3) 0,(24)=0,242424…=0,24+0,0024+0,000024+…
Первый член \(b_{1} = 0{,}24\)
Знаменатель \(q = 0{,}01\)
Сумма
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{0{,}24}{1 - 0{,}01} = \dfrac{0{,}24}{0{,}99} = \dfrac{24}{99} = \dfrac{8}{33}\)
4) 0,416416416…
Первый член \(b_{1} = 0{,}416\)
Знаменатель \(q = 0{,}001\)
Сумма
\(S = \dfrac{0{,}416}{1 - 0{,}001} = \dfrac{0{,}416}{0{,}999} = \dfrac{416}{999}\)
5) 0,2666…=0,2+0,06+0,006+…
Первый член \(b_{1} = 0{,}06\)
Знаменатель \(q = 0{,}1\)
Сумма \(S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0{,}06}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}06}{0{,}9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}\)
\(0{,}26666\ldots = 0{,}2 + \dfrac{1}{15} = \dfrac{2}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{6 + 2}{30} = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}\)
6) 0,6252525…=0,6+0,025+0,00025+…
Первый член \(b_{1} = 0{,}025\)
Знаменатель \(q = 0{,}01\)
\(S = \dfrac{0{,}025}{1 - 0{,}01} = \dfrac{0{,}025}{0{,}99} = \dfrac{25}{990} = \dfrac{5}{198}\)
\(0{,}62525\ldots = 0{,}6 + \dfrac{5}{198} = \dfrac{6}{10} + \dfrac{5}{198} = \dfrac{6 \cdot 99 + 25}{990} = \dfrac{619}{990}\)
7) 1,181818…=1+0,18+0,0018+…
Первый член \(b_{1} = 0{,}18\)
Знаменатель \(q = 0{,}01\)
Сумма \(S = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0{,}18}{1 - 0{,}01} = \frac{0{,}18}{0{,}99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}\)
\(1{,}181818\ldots = 1 + \dfrac{2}{11} = \dfrac{13}{11}\)
8) 2,3(36)=2,3+0,036+0,00036+…
\(S = \dfrac{0{,}036}{1 - 0{,}01} = \dfrac{0{,}036}{0{,}99} = \dfrac{36}{990}\)
\(2{,}3(36) = 2{,}3 + \dfrac{36}{990} = \dfrac{23}{10} + \dfrac{36}{990} = \dfrac{23 \cdot 99 + 36}{990} = \dfrac{2313}{990} = \dfrac{257}{110}\)
Ответ: 1) 0,1111…\(= \frac{1}{9}\); 2) 0,(5)\(= \frac{5}{9}\); 3) 0,(24)\(= \frac{8}{33}\); 4) 0,416416416…\(= \frac{416}{999}\); 5) \(0{,}26666\ldots = \frac{4}{15}\); 6) \(0{,}62525\ldots = \frac{619}{990}\); 7) \(1{,}181818\ldots = \frac{13}{11}\); 8) \(2{,}3(36) = \frac{257}{110}\).
