Страница 244 номер 913, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Решите уравнение: 1) \(1 + x + x^2 + \ldots = 4\), если \(|x| < 1\); 2) \(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \ldots = 1{,}5\), если \(|x| > 1\).
1) \(1 + x + x^{2} + \ldots = 4\), если \(|x| < 1\)
Левую часть уравнения можно представить в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии, где первый член \(b_{1} = 1\) и знаменатель \(q = x\).
\(|q| = |x| < 1\) по условию
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - x}\)
\(\dfrac{1}{1 - x} = 4\)
\(1 = 4 - 4x\)
\(4x = 3\)
\(x = \dfrac{3}{4}\)
\(|x| = \frac{3}{4} < 1\) – корень подходит
2) \(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \ldots = 1{,}5\), если \(|x| > 1\)
Левую часть уравнения можно представить в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии, где первый член \(b_{1} = 1\) и знаменатель \(q = - \frac{1}{x}\).
\(|q| = \frac{1}{|x|} < 1\), так как \(|x| > 1\)
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - \left( - \dfrac{1}{x} \right)} = \dfrac{x}{x + 1}\)
\(\dfrac{x}{x + 1} = 1{,}5\)
\(\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{3}{2}\)
\(2x = 3x + 3\)
\(x = - 3\)
\(|x| = 3 > 1\) – корень подходит
Ответ: 1) \(x = \frac{3}{4}\); 2) \(x = - 3\).
