ГДЗ 9 класс Алгебра Мерзляк, Полонский, Якир

9класс

Проверь себя на страницах 246-247, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Глава 4. Числовые последовательности. Задание № 6 «Проверьте себя» в тестовой форме. Страницы 246-247, проверь себя

Решение:

1. Среди данных последовательностей укажите арифметическую прогрессию.
А) 6, 9, 12, 13; Б) 2, 9, 16, 23; В) 2, 8, 14, 21; Г) 2, 9, 16, 21.

А) 6, 9, 12, 13

\(9 - 6 = 3;\ 12 - 9 = 3;\ 13 - 12 = 1 \neq 3\)

Б) 2, 9, 16, 23

\(9 - 2 = 7;\ 16 - 9 = 7;\ 23 - 16 = 7\) – последовательность является арифметической прогрессией

В) 2, 8, 14, 21

\(8 - 2 = 6;\ 14 - 8 = 6;\ 21 - 14 = 7 \neq 6\)

Г) 2, 9, 16, 21

\(9 - 2 = 7;\ 16 - 9 = 7;\ 21 - 16 = 5 \neq 7\)

Ответ: Б) 2, 9, 16, 23.

2. Какая из данных последовательностей является геометрической прогрессией?
А) 3, 6, 9, 12; Б) 3, 5, 7, 14; В) 3, 6, 12, 24; Г) 5, 8, 12, 16.

А) 3, 6, 9, 12

\(\dfrac{6}{3} = 2;\dfrac{9}{6} = 1{,}5 \neq 2\)

Б) 3, 5, 7, 14

\(\dfrac{5}{3} = \dfrac{25}{15};\ \dfrac{7}{5} = \dfrac{21}{15} \neq \dfrac{25}{15}\)

В) 3, 6, 12, 24

\(\frac{6}{3} = 2;\frac{12}{6} = 2;\frac{24}{12} = 2\) – последовательность является геометрической прогрессией

Г) 5, 8, 12, 16

\(\dfrac{8}{5} = \dfrac{64}{40};\dfrac{12}{8} = \dfrac{60}{40} \neq \dfrac{64}{40}\)

Ответ: В) 3, 6, 12, 24.

3. Чему равен шестой член арифметической прогрессии, первый член которой равен 12, а разность равна \(0{,}4\)?
А) \(14{,}4\); Б) 14; В) \(13{,}6\); Г) 13.

Первый член прогрессии \(a_{1} = 12\)

Разность прогрессии \(d = 0{,}4\)

Формула \(n\)-го члена прогрессии \(a_{n} = a_{1} + d(n - 1)\)

\(a_{6} = 12 + 0{,}4 \cdot 5 = 12 + 2 = 14\)

Ответ: Б) 14.

4. Найдите разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 = -7\), \(a_2 = 5\).
А) \(-2\); Б) 2; В) \(-12\); Г) 12.

Первый член прогрессии \(a_{1} = - 7\)

Второй \(a_{2} = 5\)

Формула последовательных членов прогрессии

\(a_{n + 1} = a_{n} + d\)

Разность прогрессии \(d = a_{n + 1} - a_{n} = a_{2} - a_{1} = 5 - ( - 7) = 12\)

Ответ: Г) 12.

5. Вычислите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, первый член которой \(a_1 = -16\), а разность \(d = 3\).
А) \(-10\); Б) \(-15\); В) \(-20\); Г) \(-25\).

Первый член прогрессии \(a_{1} = - 16\)

Разность прогрессии \(d = 3\)

Сумма членов прогрессии

\(S_{n} = \dfrac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot n\)
\(S_{10} = \dfrac{2 \cdot ( - 16) + 3 \cdot 9}{2} \cdot 10 = ( - 32 + 27) \cdot 5 = - 5 \cdot 5 = - 25\)

Ответ: Г) \(-25\).

6. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии, первый член которой \(b_1 = -\frac{1}{8}\), а знаменатель \(q = -2\).
А) \(-2\); Б) \(-1\); В) 1; Г) 2.

Первый член прогрессии \(b_{1} = - \frac{1}{8}\)

Знаменатель прогрессии \(q = - 2\)

Формула \(n\)-го члена прогрессии \(b_{n} = b_{1}q^{n - 1}\)

\(b_{4} = b_{1}q^{3} = - \dfrac{1}{8} \cdot ( - 2)^{3} = - \dfrac{1}{8} \cdot ( - 8) = 1\)

Ответ: В) 1.

7. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 36\), \(b_2 = 9\)?
А) \(\frac{1}{4}\); Б) 4; В) 27; Г) \(-27\).

Формула последовательных членов геометрической прогрессии

\(b_{n} = b_{n - 1} \cdot q\)

Знаменатель прогрессии

\(q = \dfrac{b_{n}}{b_{n - 1}} = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\)

Ответ: А) \(\frac{1}{4}\).

8. Вычислите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии, первый член которой \(b_1 = 2\), а знаменатель \(q = 3\).
А) 56; Б) 80; В) 96; Г) 192.

Первый член прогрессии \(b_{1} = 2\)

Знаменатель прогрессии \(q = 3\)

Сумма четырех членов прогрессии

\(S_{n} = \dfrac{b_{1}\left( q^{n} - 1 \right)}{q - 1}\)
\(S_{4} = \dfrac{2 \cdot (3^{4} - 1)}{3 - 1} = \dfrac{2 \cdot (81 - 1)}{2} = 80\)

Ответ: Б) 80.

9. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(a_n = -4n + 13\).
А) \(-300\); Б) \(-285\); В) \(-275\); Г) \(-250\).

Сумма членов прогрессии

\(S_{n} = \dfrac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n\)

Первый член прогрессии \(a_{1} = - 4 \cdot 1 + 13 = 9\)

15-й член прогрессии \(a_{15} = - 4 \cdot 15 + 13 = - 47\)

\(S_{15} = \dfrac{9 - 47}{2} \cdot 15 = - 285\)

Ответ: Б) \(-285\).

10. Какой номер члена арифметической прогрессии \((a_n)\), равного \(6{,}2\), если \(a_1 = 0{,}2\), а разность \(d = 0{,}4\)?
А) 14; Б) 15; В) 16; Г) 17.

Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии

\(a_{n} = a_{1} + d(n - 1)\)

Номер искомого члена прогрессии

\(n = \dfrac{a_{n} - a_{1}}{d} + 1\)
\(n = \dfrac{6{,}2 - 0{,}2}{0{,}4} + 1 = \dfrac{6}{0{,}4} + 1 = 16\)

Ответ: В) 16.

11. Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия \((a_n)\), если \(a_1 = 41\) и \(a_2 = 38\)?
А) 13; Б) 14; В) 15; Г) 16.

Определим разность прогрессии

\(d = a_{2} - a_{1} = 38 - 41 = - 3\)

Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии

\(a_{n} = a_{1} + d(n - 1)\)
\(a_{n} > 0\)
\(a_{1} + d(n - 1) > 0\)
\(41 - 3(n - 1) > 0\)
\(41 - 3n + 3 > 0\)
\(- 3n > - 44\)
\(n < 14\dfrac{2}{3}\)
\(n = 14\) – номер последнего положительного члена прогрессии

Ответ: Б) 14.

12. Найдите разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 + a_5 = 28\) и \(a_2 + a_3 = 24\).
А) 4; Б) 3; В) \(2{,}5\); Г) 2.

Составим и решим систему уравнений

\(\begin{cases} a_{1} + a_{5} = 28 \\ a_{2} + a_{3} = 24 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} a_{1} + a_{1} + 4d = 28 \\ a_{1} + d + a_{1} + 2d = 24 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 2a_{1} + 4d = 28 \\ 2a_{1} + 3d = 24 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow d = 4\)

Ответ: А) 4.

13. Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_2 = 24\), \(b_5 = -3\)?
А) 24; Б) 48; В) \(-96\); Г) \(-32\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q}\)
\(\begin{cases} b_{2} = 24 \\ b_{5} = - 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1}q = 24 \\ b_{1}q^{4} = - 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1} = \frac{24}{q} \\ 24q^{3} = - 3 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} b_{1} = \frac{24}{q} \\ q^{3} = - \frac{1}{8} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1} = 24 \cdot ( - 2) = - 48 \\ q = - \frac{1}{2} \end{cases}\)
\(S = \dfrac{- 48}{1 - \left( - \dfrac{1}{2} \right)} = - 48 \cdot \dfrac{2}{2 + 1} = - 32\)

Ответ: Г) \(-32\).

14. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь \(0{,}(27)\).
А) \(\frac{3}{11}\); Б) \(\frac{9}{11}\); В) \(\frac{27}{100}\); Г) \(\frac{3}{111}\).

\(0{,}(27) = 0{,}272727\ldots\)
\(0{,}(27) = 0{,}27 + 0{,}0027 + 0{,}000027 + \ldots\)
\(b_{1} = 0{,}27\)
\(q = 0{,}01\)
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{0{,}27}{1 - 0{,}01} = \dfrac{0{,}27}{0{,}99} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \dfrac{3}{11}\)

Ответ: А) \(\frac{3}{11}\).

15. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и меньших 120.
А) 810; Б) 702; В) 819; Г) 882.

Первый член прогрессии \(a_{1} = 9\)

Разность прогрессии \(d = 9\)

Формула \(n\)-го члена прогрессии \(a_{n} = a_{1} + d(n - 1)\)

\(a_{n} < 120\)
\(a_{1} + d(n - 1) < 120\)
\(9 + 9(n - 1) < 120\)
\(9 + 9n - 9 < 120\)
\(9n < 120\)
\(n < 13\dfrac{1}{3}\)
\(n = 13\) – номер последнего члена прогрессии, меньшего 120
\(S_{13} = \dfrac{2a_{1} + d(n - 1)}{2}n = \dfrac{2 \cdot 9 + 9 \cdot 12}{2} \cdot 13 = \dfrac{18 + 108}{2} \cdot 13 = 819\)

Ответ: В) 819.

16. Чему равна сумма девяти первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 + a_4 + a_{10} = 18\)?
А) 48; Б) 54; В) 72; Г) найти невозможно.

\(a_{1} + a_{4} + a_{10} = 18\)
\(a_{1} + a_{1} + 3d + a_{1} + 9d = 18\)
\(3a_{1} + 12d = 18\)
\(a_{1} + 4d = 6\)
\(a_{5} = 6\)
\(a_{5} = \dfrac{a_{1} + a_{9}}{2} \Rightarrow a_{9} = 2a_{5} - a_{1}\)

Сумма членов прогрессии

\(S_{9} = \dfrac{a_{1} + a_{9}}{2} \cdot 9 = \dfrac{a_{1} + 2a_{5} - a_{1}}{2} \cdot 9 = a_{5} \cdot 9 = 6 \cdot 9 = 54\)

Ответ: Б) 54.

17. При каком значении \(x\) значения выражений \(7x - 8\), \(2x + 1\) и \(x + 6\) являются последовательными членами арифметической прогрессии?
А) 1; Б) 2; В) \(-1\); Г) такого значения не существует.

Формула трех последовательных членов арифметической прогрессии

\(a_{n} = \dfrac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}\)
\(2x + 1 = \dfrac{7x - 8 + x + 6}{2}\)
\(4x + 2 = 8x - 2\)
\(4x = 4\)
\(x = 1\)

Ответ: А) 1.

18. При каком положительном значении \(x\) значения выражений \(x + 1\), \(3x - 1\) и \(2x + 10\) являются последовательными членами геометрической прогрессии?
А) \(1{,}5\); Б) 4; В) 3; Г) такого значения не существует.

Формула трех последовательных членов геометрической прогрессии

\(b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}\)
\((3x - 1)^{2} = (x + 1)(2x + 10)\)
\(9x^{2} - 6x + 1 = 2x^{2} + 2x + 10x + 10\)
\(7x^{2} - 18x - 9 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 81 + 7 \cdot 9 = 81 + 63 = 144 = 12^{2}\)
\(x_{1} = \dfrac{9 - 12}{7} = - \dfrac{3}{7} < 0\)
\(x_{2} = \dfrac{9 + 12}{7} = \dfrac{21}{7} = 3\)

Ответ: В) 3.

Номер №926 Номер №927

смотреть все номера