Страница 244 номер 912, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((c_n)\), если \(c_3c_5 = 20\) и \(c_2 + c_4 = 12\sqrt{5}\).
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии \(c_{n} = c_{1}q^{n - 1}\)
Составим и решим систему уравнений
\(\begin{cases} c_{3}c_{5} = 20 \\ c_{2} + c_{4} = 12\sqrt{5} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} c_{1}q^{2} \cdot c_{1}q^{4} = 20 \\ c_{1}q + c_{1}q^{3} = 12\sqrt{5} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} c_{1}^{2}q^{6} = 20 \\ c_{1}q\left( 1 + q^{2} \right) = 12\sqrt{5} \end{cases}\ \Rightarrow\) \[\Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} c_{1}q^{3} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \\ c_{1}q^{3} = - \sqrt{20} = - 2\sqrt{5} \end{array} \right. \\ c_{1}q^{3} \cdot \frac{\left( 1 + q^{2} \right)}{q^{2}} = 12\sqrt{5} \end{cases}\]
Для \(c_{1}q^{3} = 2\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{5} \cdot \dfrac{1 + q^{2}}{q^{2}} = 12\sqrt{5}\)
\(1 + q^{2} = 6q^{2}\)
\(5q^{2} = 1\)
\(q = \pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
\[c_{1}q^{3} = 2\sqrt{5} \Rightarrow c_{1} = \frac{2\sqrt{5}}{q^{3}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} q = \frac{1}{\sqrt{5}} \\ c_{1} = 2\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{5} = 10 \cdot 5 = 50 \end{cases} \\ \begin{cases} q = - \frac{1}{\sqrt{5}} \\ c_{1} = 2\sqrt{5} \cdot \left( - 5\sqrt{5} \right) = - 50 \end{cases} \end{array} \right.\ \Rightarrow\]
\[\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} S = \frac{50}{1 - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{50\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{50\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{25(5 + \sqrt{5})}{2} \\ S = - \frac{50}{1 - \left( - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)} = \frac{- 50 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1} = \frac{- 50\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{25(\sqrt{5} - 5)}{2} \end{array} \right.\]
Для \(c_{1}q^{3} = - 2\sqrt{5}\)
\(- 2\sqrt{5} \cdot \dfrac{1 + q^{2}}{q^{2}} = 12\sqrt{5}\)
\(1 + q^{2} = - 6q^{2}\)
\(q^{2} = - \dfrac{1}{7}\)
Нет решения
Ответ: \(S = \frac{25(5 + \sqrt{5})}{2}\) или \(S = \frac{25(\sqrt{5} - 5)}{2}\).
