Вопросы после параграфа §26 на странице 242, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Бесконечно много чисел нельзя сложить одно за другим, поэтому сумму бесконечной геометрической прогрессии определяют через суммы её первых членов.

Суммой бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), где \(|q| < 1\), называют число \(\frac{b_1}{1 - q}\) — число, к которому стремится сумма \(S_n\) её \(n\) первых членов при неограниченном увеличении \(n\). Записывают это так:

\(b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n + \ldots = \dfrac{b_1}{1 - q}.\)

Если сумму бесконечной геометрической прогрессии обозначить буквой \(S\), то получится формула

\(S = \dfrac{b_1}{1 - q}.\)

То, что сумма \(S_n\) стремится именно к этому числу, показывает формула суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии со знаменателем \(q \ne 1\):

\(\begin{aligned} &S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \dfrac{b_1 - b_1q^n}{1 - q} = {} \\ &= \dfrac{b_1}{1 - q} - \dfrac{b_1}{1 - q} \cdot q^n. \end{aligned}\)

Если \(|q| < 1\), то при неограниченном увеличении \(n\) степень \(q^n\) стремится к нулю, а вместе с ней стремится к нулю и произведение \(\frac{b_1}{1 - q} \cdot q^n\). Следовательно, сумма \(S_n\) стремится к числу \(\frac{b_1}{1 - q}\).

Например, у бесконечной геометрической прогрессии \(8, 4, 2, 1, \ldots\) первый член \(b_1 = 8\), знаменатель \(q = 4 : 8 = \frac{1}{2}\). Так как \(|q| < 1\), эта прогрессия имеет сумму:

\(S = \dfrac{8}{1 - \dfrac{1}{2}} = 8 : \dfrac{1}{2} = 8 \cdot 2 = 16.\)

Действительно, \(S_1 = 8\), \(S_2 = 12\), \(S_3 = 14\), \(S_4 = 15\), \(S_5 = 15{,}5\) и так далее: суммы первых членов этой прогрессии всё меньше отличаются от числа 16.

Если же \(|q| \geqslant 1\), то сумма \(S_n\) при неограниченном увеличении \(n\) не стремится ни к какому числу, и бесконечная геометрическая прогрессия суммы не имеет. Так, у прогрессии \(1, 2, 4, 8, \ldots\) со знаменателем \(q = 2\) суммы первых членов \(1, 3, 7, 15, \ldots\) неограниченно растут.

Ответ: суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(b_1\) и знаменателем \(q\), где \(|q| < 1\), называют число \(\frac{b_1}{1 - q}\) — к нему стремится сумма \(n\) первых членов прогрессии при неограниченном увеличении \(n\).