Страница 244 номер 911, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_2b_4 = 36\) и \(b_3 + b_5 = 8\).
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии \(b_{n} = b_{1}q^{n - 1}\)
Составим и решим систему уравнений
\(\begin{cases} b_{2}b_{4} = 36 \\ b_{3} + b_{5} = 8 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1}q \cdot b_{1}q^{3} = 36 \\ b_{1}q^{2} + b_{1}q^{4} = 8 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1}^{2}q^{4} = 36 \\ b_{1}q^{2}\left( 1 + q^{2} \right) = 8 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\[\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} b_{1}q^{2} = 6 \\ 6\left( 1 + q^{2} \right) = 8 \end{cases} \\ \begin{cases} b_{1}q^{2} = - 6 \\ - 6\left( 1 + q^{2} \right) = 8 \end{cases} \end{array} \right.\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} b_{1}q^{2} = 6 \\ 1 + q^{2} = \frac{8}{6} \end{cases} \\ \begin{cases} b_{1}q^{2} = - 6 \\ 1 + q^{2} = - \frac{8}{6} \end{cases} \end{array} \right.\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} b_{1} = 6/q^{2} \\ q^{2} = \frac{8}{6} - 1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{cases} \\ \begin{cases} b_{1}q^{2} = - 6 \\ q^{2} = - \frac{8}{6} - 1 < 0\ \end{cases} \end{array} \right.\ \Rightarrow\]
\[\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} b_{1} = \frac{6}{2/6} = 18 \\ q = 1/\sqrt{3} \end{cases} \\ \begin{cases} b_{1} = 18 \\ q = - 1/\sqrt{3} \end{cases} \end{array} \right.\]
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{18}{1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}} = \dfrac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{18\sqrt{3}\left( \sqrt{3} + 1 \right)}{3 - 1} = \dfrac{18 \cdot 3 + 18\sqrt{3}}{2} =\)
\(= 27 + 9\sqrt{3}\)
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{18}{1 - \left( - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)} = \dfrac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{18\sqrt{3}\left( \sqrt{3} - 1 \right)}{3 - 1} = \dfrac{18 \cdot 3 - 18\sqrt{3}}{2} =\)
\(= 27 - 9\sqrt{3}\)
Ответ: \(S = 27 + 9\sqrt{3}\); \(S = 27 - 9\sqrt{3}\).
