Страница 243 номер 906, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если: 1) \(b_3 = 4,\ b_5 = 2\); 2) \(b_1 + b_3 = 20,\ b_2 + b_4 = \frac{20}{3}\).
1) \(b_{3} = 4,\ b_{5} = 2\)
Знаменатель прогрессии
\(b_{5} = b_{3}q^{2} \Rightarrow q^{2} = \dfrac{b_{5}}{b_{3}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow q = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Первый член прогрессии
\(b_{3} = b_{1}q^{2} \Rightarrow b_{1} = \dfrac{b_{3}}{q^{2}} \Rightarrow b_{1} = \dfrac{4}{1/2} = 8\)
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{8}{1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 16 + 8\sqrt{2}\)
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{8}{1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 16 - 8\sqrt{2}\)
2) \(b_{1} + b_{3} = 20,\ b_{2} + b_{4} = \frac{20}{3}\)
\(\begin{cases} b_{1} + b_{1}q^{2} = 20 \\ b_{1}q + b_{1}q^{3} = \frac{20}{3} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1}\left( 1 + q^{2} \right) = 20 \\ b_{1}q\left( 1 + q^{2} \right) = \frac{20}{3} \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} b_{1}\left( 1 + q^{2} \right) = 20 \\ q = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{b_{1}\left( 1 + q^{2} \right)} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1} = \frac{20}{1 + q^{2}} \\ q = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{20} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1} = \frac{20}{1 + \frac{1}{9}} \\ q = \frac{1}{3} \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} b_{1} = 20 \cdot \frac{9}{10} \\ q = \frac{1}{3} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b_{1} = 18 \\ q = \frac{1}{3} \end{cases}\)
\(S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{18}{1 - \dfrac{1}{3}} = 18 \cdot \dfrac{3}{2} = 27\)
Ответ: 1) при \(q = \frac{1}{\sqrt{2}}\ S = 16 + 8\sqrt{2}\); при \(q = - \frac{1}{\sqrt{2}}\ S = 16 - 8\sqrt{2}\); 2) \(S = 27\).
