Страница 244 номер 918, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

В окружность радиуса \(R\) вписан треугольник,

его сторона равна \(a_{1} = \sqrt{3}R\).

В треугольник со стороной \(a_{1}\) вписана окружность с радиусом \(r = \frac{\sqrt{3}a_{1}}{6}\)

Связь двух окружностей через сторону треугольника

\(a_{1} = \sqrt{3}R = 2\sqrt{3}r \Rightarrow R = 2r \Rightarrow r = \dfrac{R}{2}\)

В малую окружность радиуса \(r\) вписан треугольник со стороной \(a_{2} = \sqrt{3}r = \frac{\sqrt{3}R}{2}\)

Периметр треугольника \(P_{1} = 3a_{1} = 3\sqrt{3}R;\ P_{2} = 3a_{2} = \frac{3\sqrt{3}R}{2}\)

\(S = \dfrac{P_{1}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{2P_{1}}{2 - 1} = 2 \cdot 3\sqrt{3}R = 6\sqrt{3}R\)

Площади треугольников

\(s_{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a_{1}^{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}3R^{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^{2};\ s_{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a_{2}^{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{3}{4}R^{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{16}R^{2}\)
\(S = \dfrac{s_{1}}{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{4s_{1}}{4 - 1} = \dfrac{4}{3}s_{1} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^{2} = \sqrt{3}R^{2}\)

Длина окружности \(l_{1} = 2\pi R;\ l_{2} = 2\pi r = \frac{2\pi R}{2} = \pi R\)

\(S = \dfrac{2\pi R}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{2 \cdot 2\pi R}{2 - 1} = 4\pi R\)

Площадь кругов \(s_{1} = \pi R^{2},s_{2} = \pi r^{2} = \pi\left( \frac{R}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}\pi R^{2}\)

\(S = \dfrac{\pi R^{2}}{1 - q} = \dfrac{\pi R^{2}}{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{4\pi R^{2}}{4 - 1} = \dfrac{4}{3}\pi R^{2}\)

Ответ:

Периметры треугольников \(S = 6\sqrt{3}R\)

Площади треугольников \(S = \sqrt{3}R^{2}\)

Длина окружности \(S = 4\pi R\)

Площадь кругов \(S = \frac{4}{3}\pi R^{2}\)