Страница 238 номер 895, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторой квадратичной функции. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одной квадратичной функции.
Пусть \(y = ax^{2} + bx + c\) - функция, график которой проходит через некоторые четыре точки \(p1\left( x_{1},y_{1} \right),p2\left( x_{2},y_{2} \right),p3(x_{3},y_{3}),p4(x_{4},y_{4})\).
Чтобы определить коэффициенты \(a,b,c\), достаточно решить систему из трех уравнений
\(\begin{cases} y_{1} = ax_{1}^{2} + bx_{1} + c \\ y_{2} = ax_{2}^{2} + bx_{2} + c \\ y_{3} = ax_{3}^{2} + bx_{3} + c \end{cases}\)
Решение у этой системы одно. Если график функции \(y = kx^{2} + mx + n\) тоже проходит через точки \(p1,p2,p3\), то при \(x = x_{1}\), \(x = x_{2}\) и \(x = x_{3}\) значения двух функций совпадают, то есть числа \(x_{1},x_{2},x_{3}\) являются корнями уравнения
\((a - k)x^{2} + (b - m)x + (c - n) = 0\)
Числа \(x_{1},x_{2},x_{3}\) различны, так как точки лежат на графике функции. Три различных корня у этого уравнения могут быть, только если \(a - k = 0\) (иначе оно квадратное, корней не больше двух), \(b - m = 0\) (иначе оно линейное, корень один) и \(c - n = 0\).
При этом четвертая точка принадлежит графику функции по условию. На ее месте может быть любая другая из оставшихся 96 точек. Через нее и точки \(p1,p2,p3\) по условию тоже проходит график квадратичной функции, ее коэффициенты удовлетворяют той же системе, поэтому это та же функция \(y = ax^{2} + bx + c\). Значит, все 100 точек лежат на графике одной квадратичной функции.
