9класс
Страница 237 номер 889, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Глава 4. Числовые последовательности. §25. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. Страница 237. Номер 889
Задание / условие:
Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой \(q = 3\), последний член \(c_n = 162\), а сумма всех членов \(S_n = 242\).
Решение:
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии
\(c_{n} = c_{1} \cdot q^{n - 1} \Rightarrow c_{1} = \dfrac{c_{n}}{q^{n - 1}}\)
Сумма \(n\) членов геометрической прогрессии
\(S_{n} = \dfrac{c_{1}(q^{n} - 1)}{q - 1} = \dfrac{c_{n}}{q^{n - 1}} \cdot \dfrac{q^{n} - 1}{q - 1}\)
\(242 = \dfrac{162}{3^{n - 1}} \cdot \dfrac{3^{n} - 1}{3 - 1}\)
\(242 \cdot 3^{n - 1} \cdot 2 = 162 \cdot \left( 3^{n} - 1 \right)\)
\(484 \cdot \dfrac{3^{n}}{3} = 162 \cdot 3^{n} - 162\)
\(484 \cdot 3^{n} = 486 \cdot 3^{n} - 486\)
\(486 = 2 \cdot 3^{n}\)
\(3^{n} = 243\)
\(3^{n} = 3^{5}\)
\(n = 5\)
Ответ: 5 членов.
