Страница 237 номер 888, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите тождество \(a^{2n+1} + 1 = (a + 1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \ldots + a^2 - a + 1)\).
\(a^{2n + 1} + 1 = (a + 1)(a^{2n} - a^{2n - 1} + \ldots + a^{2} - a + 1)\)
Определим сумму второго множителя из правой части тождества
При \(a \neq 0\) и \(a \neq - 1\) его члены образуют геометрическую прогрессию, знаменатель которой не равен 1
Первый член прогрессии \(b_{1} = a^{2n}\)
Знаменатель прогрессии \(q = \frac{- a^{2n - 1}}{a^{2n}} = - \frac{1}{a} = - a^{- 1}\)
Всего членов \(2n + 1\), их сумма
\(S_{2n + 1} = \dfrac{b_{1}\left( q^{2n + 1} - 1 \right)}{q - 1} = \dfrac{a^{2n}\left( \left( - a^{- 1} \right)^{2n + 1} - 1 \right)}{- a^{- 1} - 1} =\)
\(= \dfrac{a^{2n}\left( - \frac{1}{a^{2n + 1}} - 1 \right)}{- \dfrac{1}{a} - 1} = a^{2n} \cdot \left( - \dfrac{1 + a^{2n + 1}}{a^{2n + 1}} \right) \cdot \left( - \dfrac{a}{1 + a} \right) =\)
\(= a^{2n} \cdot \dfrac{1 + a^{2n + 1}}{a^{2n} \cdot a} \cdot \dfrac{a}{a + 1} = \dfrac{1 + a^{2n + 1}}{1 + a}\)
Окончательно правая часть исходного тождества примет вид
\((a + 1) \cdot S_{2n + 1} = (a + 1) \cdot \dfrac{1 + a^{2n + 1}}{a + 1} = 1 + a^{2n + 1}\)
При \(a = - 1\) левая часть равна \(( - 1)^{2n + 1} + 1 = 0\), правая часть равна \(( - 1 + 1) \cdot (2n + 1) = 0\)
При \(a = 0\) левая часть равна \(0^{2n + 1} + 1 = 1\), правая часть равна \((0 + 1) \cdot 1 = 1\)
Тождество доказано
