Страница 237 номер 887, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите тождество \(a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \ldots + a + 1)\).
\(a^{n} - 1 = (a - 1)(a^{n - 1} + a^{n - 2} + \ldots + a + 1)\)
Определим сумму членов одного из множителей правой части
\(\left( a^{n - 1} + a^{n - 2} + \ldots + a + 1 \right)\)
При \(a \neq 0\) и \(a \neq 1\) эти члены образуют геометрическую прогрессию, знаменатель которой не равен 1
Первый член \(b_{1} = a^{n - 1}\)
Знаменатель \(q = \frac{a^{n - 2}}{a^{n - 1}} = a^{n - 2 - n + 1} = a^{- 1}\)
Всего \(n\) членов, и их сумма
\(S_{n} = \dfrac{b_{1}\left( q^{n} - 1 \right)}{q - 1} = \dfrac{a^{n - 1}\left( {(a}^{- 1} \right)^{n} - 1)}{a^{- 1} - 1} = \dfrac{a^{n - 1} \cdot a^{- n} - a^{n - 1}}{\dfrac{1}{a} - 1} =\)
\(= \left( a^{- 1} - a^{n - 1} \right):\left( \dfrac{1 - a}{a} \right) = \left( \dfrac{1}{a} - a^{n - 1} \right) \cdot \dfrac{a}{1 - a} = \dfrac{1 - a^{n}}{a} \cdot \dfrac{a}{1 - a} =\)
\(= \dfrac{a^{n} - 1}{a - 1}\)
Окончательно правая часть исходного тождества примет вид
\((a - 1) \cdot S_{n} = (a - 1) \cdot \dfrac{a^{n} - 1}{a - 1} = a^{n} - 1\)
При \(a = 1\) левая часть равна \(1^{n} - 1 = 0\), правая часть равна \((1 - 1) \cdot n = 0\)
При \(a = 0\) левая часть равна \(0^{n} - 1 = - 1\), правая часть равна \((0 - 1) \cdot 1 = - 1\)
Тождество доказано
