Страница 236 номер 874, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии \((c_n)\), если: 1) \(c_4 = 216\), а знаменатель прогрессии \(q = -3\); 2) \(c_1 = 5\sqrt{5}\), \(c_5 = 125\sqrt{5}\), а знаменатель прогрессии \(q > 0\).
1) \(c_{4} = 216\), а знаменатель прогрессии \(q = - 3\)
Первый член прогрессии
\(c_{4} = c_{1}q^{3} \Rightarrow c_{1} = \dfrac{c_{4}}{q^{3}} = \dfrac{216}{( - 3)^{3}} = \dfrac{216}{- 27} = - 8\)
Сумма шести членов
\(S_{6} = \dfrac{- 8 \cdot (( - 3)^{6} - 1)}{- 3 - 1} = \dfrac{- 8 \cdot (729 - 1)}{- 4} = 2 \cdot 728 = 1456\)
2) \(c_{1} = 5\sqrt{5},c_{5} = 125\sqrt{5}\), а знаменатель прогрессии \(q > 0\)
Знаменатель прогрессии
\(c_{5} = c_{1}q^{4} \Rightarrow q^{4} = \dfrac{c_{5}}{c_{1}} \Rightarrow q^{4} = \dfrac{125\sqrt{5}}{5\sqrt{5}} = 25 \Rightarrow q = \sqrt{5},\ \text{т.к.}\ q > 0\)
Сумма шести членов
\(S_{6} = \dfrac{5\sqrt{5} \cdot \left( {\sqrt{5}}^{6} - 1 \right)}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{5\sqrt{5} \cdot 124}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{5\sqrt{5} \cdot 124 \cdot \left( \sqrt{5} + 1 \right)}{5 - 1} =\)
\(= 5 \cdot 31 \cdot \sqrt{5}\left( \sqrt{5} + 1 \right) = 155(5 + \sqrt{5})\)
Ответ: 1) \(S_{6} = 1456\); 2) \(S_{6} = 155(5 + \sqrt{5})\).
