Проектная работа 9 на странице 279, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

План доклада:
1. Уравнения высших степеней и разложение на множители.
2. Целые корни — делители свободного члена.
3. Схема Горнера.
4. Замена переменной.
5. Из истории: Кардано, Феррари, Абель, Галуа.

Презентация к докладу: «Алгебраические уравнения высших степеней», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Уравнения высших степеней и разложение на множители

Цель работы — изучить способы решения уравнений степени выше второй и описать историю поиска формул их корней.

Уравнение \(a_nx^n + \ldots + a_1x + a_0 = 0\), где \(a_n \ne 0\), называют алгебраическим уравнением \(n\)-й степени; оно имеет не больше \(n\) корней. Главный приём — разложение левой части на множители. Например, группировкой решим уравнение \(x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0\):

\(x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0,\)
\((x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0.\)

Отсюда \(x = -2\), \(x = 3\) или \(x = -3\).

2. Целые корни — делители свободного члена

Пусть коэффициенты уравнения — целые числа, а целое число \(x_0\) — его корень. Тогда \(a_0 = -x_0(a_nx_0^{n-1} + \ldots + a_1)\), т. е. \(a_0\) делится на \(x_0\): целые корни ищут среди делителей свободного члена. Если \(x_0\) — корень, то левая часть делится на \(x - x_0\) (теорема Безу).

Решим уравнение \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0\). Делители числа 6: \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 3\), \(\pm 6\). При \(x = 1\) имеем \(1 - 2 - 5 + 6 = 0\), значит, 1 — корень. Выделим множитель \(x - 1\):

\(\begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = x^3 - x^2 - x^2 + x - 6x + 6 = {} \\ &= x^2(x - 1) - x(x - 1) - 6(x - 1) = (x - 1)(x^2 - x - 6). \end{aligned}\)

Трёхчлен \(x^2 - x - 6\) имеет корни 3 и \(-2\) (по теореме, обратной теореме Виета). Корни уравнения \(-2\), 1, 3 — абсциссы точек пересечения графика его левой части с осью абсцисс:

3. Схема Горнера

Делить многочлен на \(x - c\) удобно по схеме Горнера. В первую строку таблицы пишут коэффициенты; первый из них сносят, а каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на \(c\), плюс коэффициент над ним. Последнее число — значение многочлена при \(x = c\), остальные — коэффициенты частного.

Решим уравнение \(x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6 = 0\). Среди делителей числа 6 есть корни 1 и \(-1\):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 1 & -7 & -1 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & -5 & -6 & 0 \\ \hline -1 & 1 & 1 & -6 & 0 & \\ \hline \end{array}\]

Во второй строке \(1 \cdot 1 + 1 = 2\), \(2 \cdot 1 - 7 = -5\), \(-5 \cdot 1 - 1 = -6\), \(-6 \cdot 1 + 6 = 0\); в третьей так же делится частное \(x^3 + 2x^2 - 5x - 6\) на \(x + 1\). Остаётся уравнение \(x^2 + x - 6 = 0\) с корнями 2 и \(-3\). Корни данного уравнения: \(-3\), \(-1\), 1, 2.

4. Замена переменной

Повторяющееся в уравнении выражение обозначают новой переменной. Решим уравнение \((x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0\). Пусть \(t = x^2 + x\); тогда \(t^2 - 8t + 12 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = 6\). Если \(x^2 + x = 2\), то \(x = 1\) или \(x = -2\); если \(x^2 + x = 6\), то \(x = 2\) или \(x = -3\).

5. Из истории: Кардано, Феррари, Абель, Галуа

Формулу корней уравнения третьей степени опубликовал Джероламо Кардано (1501–1576) в книге «Великое искусство» (1545), там же — способ Лодовико Феррари (1522–1565) для четвёртой степени. Нильс Абель (1802–1829) доказал, что уравнение пятой степени в общем виде не решается в радикалах (корни не выражаются через коэффициенты арифметическими действиями и извлечением корней), а Эварист Галуа (1811–1832) нашёл, какие уравнения так решаются.

Формула Кардано громоздка, поэтому корень уравнения \(x^3 + 6x - 20 = 0\) проще найти среди делителей числа 20: \(8 + 12 - 20 = 0\), \(x = 2\). Так как \(x^3 + 6x - 20 = (x - 2)(x^2 + 2x + 10)\), а у второго множителя \(D = 4 - 40 < 0\), других корней нет.

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что для уравнений степени выше четвёртой общей формулы корней нет, поэтому уравнения высших степеней решают разложением на множители, подбором целых корней среди делителей свободного члена, делением по схеме Горнера и заменой переменной.