Дружим с компьютером § 25 на странице 287, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Таблицу, которая строит арифметическую прогрессию по \(a_1\) и \(d\) (столбцы \(k\), \(a_k\), \(S_k\)), дополним столбцами D и E. Сама таблица строится в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc) так:
1. В G1 ввести подпись «a1 =», в H1 — значение \(a_1\); в G2 — подпись «d =», в H2 — значение \(d\).
2. В A1, B1, C1 ввести подписи \(k\), \(a_k\), \(S_k\). В A2 ввести число 1, в A3 — формулу =A2+1 и протянуть её маркером заполнения (квадратиком в правом нижнем углу ячейки) до A11.
3. В B2 ввести =$H$1, в B3 — =B2+$H$2 (рекуррентная формула \(a_{k+1} = a_k + d\)) и протянуть до B11.
4. В C2 ввести формулу суммы \(S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k\), то есть =($H$1+B2)/2*A2, и протянуть её до C11.
Знак $ закрепляет адрес: при протягивании ссылки на H1 и H2 не меняются, а ссылки на ячейки своей строки сдвигаются вместе с формулой.
Геометрическая прогрессия с \(b_1 = a_1\) и \(q = d\) существует только при \(a_1 \ne 0\) и \(d \ne 0\): первый член и знаменатель геометрической прогрессии не равны нулю. Сумму \(k\) первых членов геометрической прогрессии обозначим \(T_k\), чтобы не путать её с суммой \(S_k\) членов арифметической прогрессии.
5. В D1 и E1 ввести подписи \(b_k\) и \(T_k\).
6. В D2 ввести =$H$1 (первый член \(b_1 = a_1\)), в D3 — =D2*$H$2 (рекуррентная формула \(b_{k+1} = b_k q\), где \(q = d\)) и протянуть до D11.
7. В E2 ввести формулу суммы \(k\) первых членов геометрической прогрессии: \(T_k = \frac{b_1(q^k - 1)}{q - 1}\) при \(q \ne 1\) и \(T_k = kb_1\) при \(q = 1\). Выбор между ними делает функция ЕСЛИ: =ЕСЛИ($H$2=1;A2*$H$1;$H$1*($H$2^A2-1)/($H$2-1)); формулу протянуть до E11.
8. В G3 ввести подпись «проверка», в H3 — формулу =ЕСЛИ(H1*H2=0;"неверные данные";"данные верные"): при \(a_1 = 0\) или \(d = 0\) в ней появится сообщение «неверные данные».
При \(a_1 = 1\), \(d = 2\) получается таблица:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & a_k & S_k & b_k & T_k \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 2 & 3 \\ \hline 3 & 5 & 9 & 4 & 7 \\ \hline 4 & 7 & 16 & 8 & 15 \\ \hline 5 & 9 & 25 & 16 & 31 \\ \hline 6 & 11 & 36 & 32 & 63 \\ \hline 7 & 13 & 49 & 64 & 127 \\ \hline 8 & 15 & 64 & 128 & 255 \\ \hline 9 & 17 & 81 & 256 & 511 \\ \hline 10 & 19 & 100 & 512 & 1023 \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(T_3 = 1 + 2 + 4 = 7\), \(T_{10} = \frac{1 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 1023\).
Для графика выделить диапазон A1:E11 и вставить диаграмму «Точечная» с одними маркерами, без линий: последовательность — это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел (здесь — первых десяти), поэтому её график состоит из отдельных точек. По горизонтальной оси откладывается номер \(k\), каждый из столбцов B–E даёт свой ряд точек.
Значения \(a_1\) и \(d\) меняют в ячейках H1 и H2 — таблица и диаграмма перестраиваются сами. Возьмём \(a_1 = 1\) и будем менять \(d\).
1. \(d > 1\), например \(d = 2\): обе прогрессии возрастают, но геометрическая — гораздо быстрее. Начиная с \(k = 4\) члены \(b_k\) больше членов \(a_k\) (\(b_4 = 8\), \(a_4 = 7\)), начиная с \(k = 5\) суммы \(T_k\) больше сумм \(S_k\) (\(T_5 = 31\), \(S_5 = 25\)), а при \(k = 10\) уже \(b_{10} = 512\) против \(a_{10} = 19\) и \(T_{10} = 1023\) против \(S_{10} = 100\).
2. \(d = 1\): арифметическая прогрессия \(1, 2, 3, \ldots\) возрастает, а все члены геометрической прогрессии равны 1, и её суммы \(T_k = k\) растут медленнее сумм \(S_k\): \(T_{10} = 10\), \(S_{10} = 55\).
3. \(0 < d < 1\), например \(d = 0{,}5\): арифметическая прогрессия \(1;\ 1{,}5;\ 2;\ \ldots\) возрастает, а геометрическая \(1;\ 0{,}5;\ 0{,}25;\ \ldots\) убывает, и её члены приближаются к нулю. Суммы \(T_k\) растут, но остаются меньше 2, так как \(T_k = \frac{0{,}5^k - 1}{0{,}5 - 1} = 2 - 2 \cdot 0{,}5^k\); например, \(T_{10} = 1{,}998046875\).
4. \(d = 0\): арифметическая прогрессия \(1, 1, 1, \ldots\) постоянна, а геометрической прогрессии нет — её знаменатель не может равняться нулю, и в H3 появляется сообщение «неверные данные».
5. \(-1 < d < 0\), например \(d = -0{,}5\): арифметическая прогрессия \(1;\ 0{,}5;\ 0;\ -0{,}5;\ \ldots\) убывает; члены геометрической прогрессии \(1;\ -0{,}5;\ 0{,}25;\ -0{,}125;\ \ldots\) чередуют знаки и по модулю уменьшаются, а суммы \(T_k\) — \(1;\ 0{,}5;\ 0{,}75;\ 0{,}625;\ \ldots\) — попеременно то увеличиваются, то уменьшаются, всё меньше отличаясь друг от друга.
6. \(d = -1\): арифметическая прогрессия \(1, 0, -1, -2, \ldots\) убывает; члены геометрической прогрессии равны попеременно 1 и \(-1\), а её суммы — попеременно 1 и 0.
7. \(d < -1\), например \(d = -2\): арифметическая прогрессия \(1, -1, -3, \ldots\) убывает; члены геометрической прогрессии \(1, -2, 4, -8, \ldots\) чередуют знаки, а их модули растут; суммы \(T_k\) — \(1, -1, 3, -5, 11, \ldots\) — тоже чередуют знаки, и их модули растут.
Если поменять знак \(a_1\), то все члены и суммы геометрической прогрессии тоже поменяют знак, ведь каждый её член равен \(b_1 q^{k-1}\), где \(b_1 = a_1\). Например, при \(a_1 = -1\), \(d = 2\) арифметическая прогрессия \(-1, 1, 3, 5, \ldots\) возрастает, а геометрическая \(-1, -2, -4, -8, \ldots\) убывает, причём всё быстрее.
Ответ: арифметическая прогрессия при \(d > 0\) возрастает, при \(d < 0\) убывает, при \(d = 0\) постоянна; при \(a_1 > 0\) и \(d > 1\) геометрическая прогрессия и её суммы растут гораздо быстрее арифметической (при \(a_1 = 1\), \(d = 2\): \(b_{10} = 512\) и \(T_{10} = 1023\) против \(a_{10} = 19\) и \(S_{10} = 100\)); при \(d = 1\) все члены геометрической прогрессии равны \(a_1\); при \(0 < d < 1\) они приближаются к нулю, а их суммы остаются меньше некоторого числа; при \(d < 0\) они чередуют знаки; при \(d = 0\) геометрической прогрессии нет.
