Проектная работа 3 на странице 277, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

План доклада:
1. Неравенство с двумя переменными.
2. Полуплоскость решений линейного неравенства.
3. Система линейных неравенств и многоугольник решений.
4. Задача о наибольшей прибыли.
5. Транспортная задача и линейное программирование.

Презентация к докладу: «Системы линейных неравенств и решение экономических задач», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Неравенство с двумя переменными. Цель работы — изучить системы линейных неравенств с двумя переменными и применить их к решению экономических задач. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений переменных, которая обращает его в верное числовое неравенство. Пара \((4;\ 6)\) — решение неравенства \(x + 2y \leqslant 16\), так как \(4 + 2 \cdot 6 = 16\), а пара \((5;\ 6)\) — нет: \(5 + 2 \cdot 6 = 17 > 16\).

2. Полуплоскость решений линейного неравенства. Прямая \(ax + by = c\) (числа \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно) делит плоскость на две полуплоскости: в одной выполняется неравенство \(ax + by < c\), в другой — \(ax + by > c\); нужную находят по одной контрольной точке. Пример: прямая \(3x + 2y = 24\) проходит через точки \((8;\ 0)\) и \((0;\ 12)\); точка \((0;\ 0)\) удовлетворяет неравенству \(3x + 2y \leqslant 24\), ведь \(0 \leqslant 24\), поэтому его решения — полуплоскость, содержащая начало координат, вместе с граничной прямой.

3. Система линейных неравенств и многоугольник решений. Множество решений системы — пересечение полуплоскостей её неравенств, часто многоугольник; его вершины находят из систем уравнений граничных прямых. Пример — система

\(\begin{cases} x + 2y \leqslant 16, \\ 3x + 2y \leqslant 24, \\ x \geqslant 0, \\ y \geqslant 0. \end{cases}\)

Её решения — четырёхугольник \(OABC\) с вершинами \(O(0;\ 0)\), \(A(8;\ 0)\), \(B(4;\ 6)\), \(C(0;\ 8)\). Вершина \(B\) — точка пересечения прямых \(x + 2y = 16\) и \(3x + 2y = 24\): вычтя из второго уравнения первое, получим \(2x = 8\), откуда \(x = 4\), \(y = 6\).

4. Задача о наибольшей прибыли. Фабрика выпускает столы и шкафы. На стол расходуется 1 лист фанеры и 3 ч работы станков, на шкаф — 2 листа и 2 ч; в день есть 16 листов фанеры и 24 ч работы станков. Прибыль от стола — 300 р., от шкафа — 400 р. Если в день выпускать \(x\) столов и \(y\) шкафов, то ограничения задаёт та же система неравенств, а прибыль равна \(300x + 400y\) р. Точки с прибылью \(P\) р. лежат на прямой \(300x + 400y = P\); с ростом \(P\) она сдвигается параллельно, и последней её общей точкой с многоугольником оказывается вершина. Прибыль в вершинах: в \(O\) — 0 р., в \(A\) — \(300 \cdot 8 = 2400\) (р.), в \(B\) — \(300 \cdot 4 + 400 \cdot 6 = 3600\) (р.), в \(C\) — \(400 \cdot 8 = 3200\) (р.). Наибольшая прибыль, 3600 р., получается при выпуске 4 столов и 6 шкафов в день.

5. Транспортная задача и линейное программирование. Такие задачи решает линейное программирование; его основы заложил в 1939 г. Л. В. Канторович (1912–1986), лауреат Нобелевской премии по экономике (1975). Пример — транспортная задача. На складе 1 есть 30 т груза, на складе 2 — 20 т, в магазины 1 и 2 надо завезти по 25 т. Перевозка 1 т стоит (тыс. р.): со склада 1 в магазины 1 и 2 — 2 и 4, со склада 2 — 5 и 3. Если со склада 1 в магазин 1 везти \(x\) т, то в магазин 2 оттуда везут \(30 - x\) т, а со склада 2 в магазины 1 и 2 — \(25 - x\) и \(x - 5\) т; все эти числа неотрицательны при \(5 \leqslant x \leqslant 25\). Стоимость \(S = 2x + 4(30 - x) + 5(25 - x) + 3(x - 5) = 230 - 4x\) убывает с ростом \(x\), поэтому наименьшая она при \(x = 25\): \(230 - 4 \cdot 25 = 130\) (тыс. р.).

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что линейное неравенство с двумя переменными задаёт полуплоскость, система таких неравенств — многоугольник, а прибыль и затраты, линейно зависящие от переменных, принимают наибольшее и наименьшее значения в его вершинах. Поэтому экономическая задача сводится к составлению системы неравенств, нахождению вершин и сравнению значений в них.