Дружим с компьютером § 10 на страницах 283-284, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Дружим с компьютером. Страницы 283-284, дружим с компьютером § 10

Решение:

С помощью табличного редактора задайте какую-либо функцию $y = f(x)$ таблично и постройте её график. Какие изменения надо внести в таблицу, чтобы получить график функции $y = f(x) + b$? $y = f(x + a)$? $y = f(x + a) + b$? Как сделать это автоматически? Постройте таким образом несколько графиков функции $y = f(x + a) + b$ для различных значений $a$ и $b$.

Каждой точке $(x_0;\ y_0)$ графика функции $y = f(x)$ соответствует точка $(x_0;\ y_0 + b)$ графика функции $y = f(x) + b$ и точка $(x_0 - a;\ y_0)$ графика функции $y = f(x + a)$: значение функции $y = f(x + a)$ при $x = x_0 - a$ равно $f((x_0 - a) + a) = f(x_0) = y_0$. Значит, точке $(x_0;\ y_0)$ соответствует и точка $(x_0 - a;\ y_0 + b)$ графика функции $y = f(x + a) + b$. Отсюда следуют изменения в таблице.

Для графика функции $y = f(x) + b$ значения аргумента оставляют прежними, а к каждому значению функции прибавляют $b$.

Для графика функции $y = f(x + a)$ значения функции оставляют прежними, а из каждого значения аргумента вычитают $a$.

Для графика функции $y = f(x + a) + b$ из каждого значения аргумента вычитают $a$, а к каждому значению функции прибавляют $b$.

Чтобы делать это автоматически, числа $a$ и $b$ записывают в отдельные ячейки, а новые значения аргумента и функции вычисляют формулами со ссылками на эти ячейки: при замене чисел $a$ и $b$ таблица и графики пересчитываются сами.

Порядок действий в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc) для функции $f(x) = x^2$:
1. В ячейку A1 ввести подпись x, в B1 — f(x), в C1 — x-a, в D1 — f(x)+b.
2. В ячейку F1 ввести подпись a =, в G1 — число $a$; в F2 — подпись b =, в G2 — число $b$.
3. В ячейку A2 ввести -3, в A3 — формулу =A2+1 и маркером заполнения протянуть её до A8.
4. В ячейку B2 ввести формулу =A2^2 и протянуть её до B8.
5. В ячейку C2 ввести формулу =A2-$G$1, в D2 — =B2+$G$2; выделить C2:D2 и протянуть до строки 8.
6. Вставить диаграмму «Точечная с гладкими кривыми и маркерами» и командой «Выбрать данные» задать четыре ряда: $y = f(x)$ — значения X из A2:A8, значения Y из B2:B8; $y = f(x) + b$ — X из A2:A8, Y из D2:D8; $y = f(x + a)$ — X из C2:C8, Y из B2:B8; $y = f(x + a) + b$ — X из C2:C8, Y из D2:D8.

При $a = 3$, $b = -2$ получаются графики функций $y = x^2 - 2$, $y = (x + 3)^2$ и $y = (x + 3)^2 - 2$; таблица значений:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & f(x) & x - a & f(x) + b \\ \hline -3 & 9 & -6 & 7 \\ \hline -2 & 4 & -5 & 2 \\ \hline -1 & 1 & -4 & -1 \\ \hline 0 & 0 & -3 & -2 \\ \hline 1 & 1 & -2 & -1 \\ \hline 2 & 4 & -1 & 2 \\ \hline 3 & 9 & 0 & 7 \\ \hline \end{array}\]

график

График функции $y = x^2 - 2$ получился параллельным переносом параболы $y = x^2$ на 2 единицы вниз, график функции $y = (x + 3)^2$ — на 3 единицы влево, а график функции $y = (x + 3)^2 - 2$ — на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз; вершина этой параболы — точка $(-3;\ -2)$.

Если ввести в ячейки G1 и G2 другие числа, например $a = -2$ и $b = 3$, столбцы C, D и диаграмма перестроятся сами, и получатся графики функций $y = x^2 + 3$, $y = (x - 2)^2$ и $y = (x - 2)^2 + 3$; таблица значений:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & f(x) & x - a & f(x) + b \\ \hline -3 & 9 & -1 & 12 \\ \hline -2 & 4 & 0 & 7 \\ \hline -1 & 1 & 1 & 4 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 1 & 3 & 4 \\ \hline 2 & 4 & 4 & 7 \\ \hline 3 & 9 & 5 & 12 \\ \hline \end{array}\]

график

Графики функций $y = x^2 + 3$, $y = (x - 2)^2$ и $y = (x - 2)^2 + 3$ получаются из параболы $y = x^2$ параллельным переносом соответственно на 3 единицы вверх, на 2 единицы вправо, на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх; вершина параболы $y = (x - 2)^2 + 3$ — точка $(2;\ 3)$.

Ответ: для $y = f(x) + b$ к каждому значению функции прибавляют $b$, для $y = f(x + a)$ из каждого значения аргумента вычитают $a$, для $y = f(x + a) + b$ делают и то и другое; автоматически — числа $a$ и $b$ записывают в отдельные ячейки, а новые столбцы вычисляют формулами со ссылками на них.

Постройте график какой-либо функции $y = f(x)$ с помощью графического редактора. Какие инструменты графического редактора надо использовать, чтобы получить из этого графика график функции $y = f(x) + b$? $y = f(x + a)$? Как можно использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = f(x + a) + b$?

В графическом редакторе (например, Paint) график функции $y = \sqrt{x}$ рисуют так:
1. Инструментом «Линия» при нажатой клавише Shift провести оси координат и двумя короткими отрезками дорисовать на их концах стрелки; инструментом «Текст» подписать оси буквами $x$ и $y$, начало координат — числом 0 и концы единичных отрезков — числом 1. Единичный отрезок удобно взять равным, например, 40 пикселям: положение указателя в пикселях показано в строке состояния.
2. Инструментом «Кривая» провести линию от начала координат до точки $(9;\ 3)$ и, потянув её в двух местах, выгнуть так, чтобы она прошла через точки $(1;\ 1)$ и $(4;\ 2)$.

График функции $y = f(x) + b$ получают из графика функции $y = f(x)$ параллельным переносом вдоль оси ординат, а график функции $y = f(x + a)$ — параллельным переносом вдоль оси абсцисс. В графическом редакторе параллельный перенос — это перетаскивание копии графика: инструментом «Выделить» (произвольная область, включено «Прозрачное выделение») обвести одну кривую, не захватывая осей координат (иначе вместе с копией переедут и отрезки осей), скопировать её (Ctrl+C), вставить (Ctrl+V) и перетащить копию мышью так, чтобы её начальная точка — для кривой $y = \sqrt{x}$ это начало координат — попала в нужную точку; положение указателя видно в строке состояния.

Для графика функции $y = f(x) + b$ копию переносят на $b$ единиц вверх, если $b > 0$, и на $-b$ единиц вниз, если $b < 0$: начальная точка копии попадает в точку $(0;\ b)$. Например, при $b = 2$ получается график функции $y = \sqrt{x} + 2$, при $b = -2$ — график функции $y = \sqrt{x} - 2$.

график

Для графика функции $y = f(x + a)$ копию переносят на $a$ единиц влево, если $a > 0$, и на $-a$ единиц вправо, если $a < 0$: начальная точка копии попадает в точку $(-a;\ 0)$. Например, при $a = 3$ получается график функции $y = \sqrt{x + 3}$, при $a = -2$ — график функции $y = \sqrt{x - 2}$.

график

Для графика функции $y = f(x + a) + b$ оба переноса выполняют один за другим: сначала копию переносят вдоль оси абсцисс и получают график функции $y = f(x + a)$, затем его переносят вдоль оси ординат. Например, при $a = 3$, $b = -2$ копию переносят на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз — получается график функции $y = \sqrt{x + 3} - 2$ с начальной точкой $(-3;\ -2)$. Оба переноса можно выполнить и одним перетаскиванием, сразу поставив начальную точку копии в точку $(-a;\ b)$.

график

Ответ: инструмент «Выделить», команды «Копировать» и «Вставить» и перетаскивание копии: для $y = f(x) + b$ — на $b$ единиц вверх при $b > 0$ или на $-b$ единиц вниз при $b < 0$, для $y = f(x + a)$ — на $a$ единиц влево при $a > 0$ или на $-a$ единиц вправо при $a < 0$; график функции $y = f(x + a) + b$ получают, выполнив эти два переноса один за другим.

Решение подготовила Екатерина Копова, учитель математики первой категории

Страница 283, дружим с компьютером § 9 Страница 284, дружим с компьютером § 11

смотреть все номера