Дружим с компьютером § 18 на страницах 285-286, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Статистическую вероятность случайного события оценивают по его частоте:

\(\text{Частота} = \dfrac{\text{количество появлений события}}{\text{количество испытаний}}.\)

Чем больше проведено испытаний, тем точнее оценка, а проводить и подсчитывать сотни испытаний вручную долго. Компьютер помогает двумя способами. Во-первых, табличный редактор (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc) по данным многих наблюдений сразу вычисляет частоты событий — так выполняются задания 611, 617, 619. Во-вторых, компьютер может сам провести эксперимент: функция СЛУЧМЕЖДУ(0;1) выдаёт наугад одно из чисел 0 и 1, причём ни одно из них не имеет преимущества — как герб и число при подбрасывании монеты. Тысяча таких «подбрасываний» занимает доли секунды.

Опыт с подбрасыванием монеты в табличном редакторе:
1. В ячейки A1, B1, C1, D1 ввести заголовки «Бросок», «Результат», «Гербов», «Частота».
2. В ячейку A2 ввести 1, в ячейку A3 — =A2+1 и маркером заполнения протянуть формулу до A1001: получатся номера бросков от 1 до 1000.
3. В ячейку B2 ввести =СЛУЧМЕЖДУ(0;1) и протянуть до B1001; 1 означает «выпал герб», 0 — «выпало число».
4. В ячейку C2 ввести =СУММ($B$2:B2) и протянуть до C1001 — количество гербов в первых бросках: начало диапазона закреплено знаками доллара, а его конец сдвигается вместе со строкой.
5. В ячейку D2 ввести =C2/A2 и протянуть до D1001 — частота выпадения герба после данного количества бросков.
6. Выделить диапазоны A1:A1001 и D1:D1001 (второй — при нажатой клавише Ctrl) и построить диаграмму «Точечная с прямыми отрезками».
7. Нажать клавишу F9: лист пересчитывается, случайные числа обновляются, и получается новая серия из 1000 бросков.

Результаты одной такой серии:

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Количество бросков} & \text{Количество гербов} & \text{Частота} \\ \hline 10 & 8 & 0{,}8 \\ \hline 20 & 12 & 0{,}6 \\ \hline 50 & 28 & 0{,}56 \\ \hline 100 & 53 & 0{,}53 \\ \hline 200 & 102 & 0{,}51 \\ \hline 500 & 255 & 0{,}51 \\ \hline 1000 & 497 & 0{,}497 \\ \hline \end{array}\]

При 10 бросках частота выпадения герба равна \(0{,}8\) и сильно отличается от \(0{,}5\). С ростом количества бросков колебания частоты уменьшаются, и при большом количестве бросков она незначительно отклоняется от числа \(0{,}5\): после 1000 бросков частота равна \(0{,}497\). Значит, вероятность выпадения герба приблизительно равна \(0{,}5\). В новых сериях получаются другие числа, но при 1000 бросках частота, как правило, отличается от \(0{,}5\) лишь на несколько сотых. Так же моделируют и другие опыты: например, функция СЛУЧМЕЖДУ(1;6) «бросает» игральный кубик.

Ответ: табличный редактор быстро вычисляет частоты событий по данным многих наблюдений, а с помощью случайных чисел компьютер за секунды проводит тысячи испытаний; в серии из 1000 бросков монеты частота выпадения герба равна \(0{,}497\), вероятность выпадения герба \(P \approx 0{,}5\).

По данным, уже имеющимся в таблице, новые данные вычисляют и заносят в таблицу такие инструменты табличного редактора:
1. Формула. Её вводят в ячейку, начиная со знака =; вместо чисел в ней пишут адреса ячеек с данными, например =B2/D2. В ячейке виден результат вычисления, и при изменении данных он пересчитывается сам.
2. Маркер заполнения — квадратик в правом нижнем углу выделенной ячейки. Если протянуть его вниз или вправо, формула скопируется в соседние ячейки, а адреса в ней сдвинутся: в следующей строке получится =B3/D3. Так одна формула заполняет целый столбец.
3. Абсолютная ссылка. Знак доллара перед буквой столбца и перед номером строки ($B$17) не даёт адресу сдвигаться при копировании: каждая строка делится на одну и ту же ячейку с итогом.
4. Функции. СУММ(B2:B13) складывает числа диапазона, СЧЁТЕСЛИ(B2:B1001;1) подсчитывает ячейки диапазона, равные 1, то есть количество появлений события.
5. Формат ячеек. Числовой формат с тремя знаками после запятой округляет частоту до тысячных, процентный формат показывает её в процентах.
6. Диаграмма. Её строят по столбцам таблицы, и она перестраивается вместе с данными.

В задаче 611 даны количества рождений мальчиков и девочек в городе \(N\) в каждом месяце 2013 г. Нужно подсчитать частоту рождений мальчиков в каждом месяце и за весь год и оценить вероятность рождения девочек в 2013 г.

Частоту рождений мальчиков находят по формуле

\(\text{Частота} = \dfrac{\text{количество рождений мальчиков}}{\text{количество всех рождений}}.\)

Порядок действий:
1. В ячейки A1:E1 ввести заголовки «Месяц», «Мальчики», «Девочки», «Всего», «Частота».
2. В ячейки A2:A13 ввести названия месяцев, в ячейку A14 — «За год», в ячейки B2:C13 — количества рождений мальчиков и девочек из задачи.
3. В ячейку B14 ввести =СУММ(B2:B13) и маркером заполнения протянуть вправо до C14 — количества рождений мальчиков и девочек за год.
4. В ячейку D2 ввести =B2+C2 — количество всех рождений за месяц, в ячейку E2 — =B2/D2, частоту рождений мальчиков.
5. Выделить ячейки D2:E2 и протянуть маркером заполнения до строки 14: в строке 14 формулы примут вид =B14+C14 и =B14/D14 — количество всех рождений и частота рождений мальчиков за год.
6. В ячейку A15 ввести «Частота рождений девочек за год», в ячейку E15 — =C14/D14.
7. Ячейкам E2:E15 задать числовой формат с тремя знаками после запятой.
8. Выделить ячейки E2:E13 и построить диаграмму «График с маркерами»; подписи горизонтальной оси — месяцы из ячеек A2:A13.

Получится таблица:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Мальчики} & \text{Девочки} & \text{Всего} & \text{Частота} \\ \hline \text{Январь} & 1198 & 1193 & 2391 & 0{,}501 \\ \hline \text{Февраль} & 1053 & 1065 & 2118 & 0{,}497 \\ \hline \text{Март} & 1220 & 1137 & 2357 & 0{,}518 \\ \hline \text{Апрель} & 1151 & 1063 & 2214 & 0{,}520 \\ \hline \text{Май} & 1151 & 1163 & 2314 & 0{,}497 \\ \hline \text{Июнь} & 1279 & 1228 & 2507 & 0{,}510 \\ \hline \text{Июль} & 1338 & 1258 & 2596 & 0{,}515 \\ \hline \text{Август} & 1347 & 1335 & 2682 & 0{,}502 \\ \hline \text{Сентябрь} & 1329 & 1218 & 2547 & 0{,}522 \\ \hline \text{Октябрь} & 1287 & 1239 & 2526 & 0{,}510 \\ \hline \text{Ноябрь} & 1196 & 1066 & 2262 & 0{,}529 \\ \hline \text{Декабрь} & 1243 & 1120 & 2363 & 0{,}526 \\ \hline \text{За год} & 14\,792 & 14\,085 & 28\,877 & 0{,}512 \\ \hline \end{array}\]

Частота рождений девочек за год (ячейка E15): \(\frac{14\,085}{28\,877} \approx 0{,}488\). Если событие «рождение девочки в 2013 г.» обозначить буквой \(A\), то \(P(A) \approx 0{,}488\), а после округления \(P(A) \approx 0{,}49\).

В разные месяцы частота рождений мальчиков колеблется от \(0{,}497\) до \(0{,}529\), но всё время остаётся около частоты за год \(0{,}512\).

Получение ответов можно автоматизировать полностью: все итоги и частоты вычисляют формулы. Если ввести в ячейки B2:C13 данные за другой год или о другом городе, итоги, частоты и диаграмма пересчитаются сами.

Ответ: частота рождений мальчиков: январь — \(0{,}501\), февраль — \(0{,}497\), март — \(0{,}518\), апрель — \(0{,}520\), май — \(0{,}497\), июнь — \(0{,}510\), июль — \(0{,}515\), август — \(0{,}502\), сентябрь — \(0{,}522\), октябрь — \(0{,}510\), ноябрь — \(0{,}529\), декабрь — \(0{,}526\), за 2013 г. — \(0{,}512\); вероятность рождения девочек в 2013 г. \(P(A) \approx 0{,}488\); да, получение ответов автоматизируется: их вычисляют формулы, которые сами пересчитываются при смене данных.

В задаче 617 дан учебный план 9 класса — количество часов в неделю по каждому из 15 предметов. Нужно оценить вероятность того, что выбранный наугад урок в недельном расписании окажется: 1) алгеброй; 2) геометрией; 3) математикой; 4) физкультурой; 5) иностранным языком.

Каждый час учебного плана — один урок в неделю. Вероятность того, что выбранный наугад урок окажется уроком данного предмета, оценивают частотой — долей уроков этого предмета среди всех уроков недели:

\(P \approx \dfrac{\text{количество уроков предмета}}{\text{количество всех уроков}}.\)

Порядок действий:
1. В ячейки A1:B16 перенести таблицу задачи: в столбец A — предметы, в столбец B — количество часов в неделю.
2. В ячейку A17 ввести «Всего», в ячейку B17 — =СУММ(B2:B16); получится 30 — столько уроков в неделе.
3. В ячейку C1 ввести заголовок нового столбца «Вероятность того, что выбранный наугад предмет окажется предметом, описанным в данной строке».
4. В ячейку C2 ввести =B2/$B$17 и протянуть маркером заполнения до C16. Адрес B2 при копировании сдвигается, а $B$17 остаётся на месте: в каждой строке количество часов предмета делится на количество всех уроков.
5. Ячейкам C2:C16 задать числовой формат с тремя знаками после запятой.

Получится таблица:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Предмет} & \text{Часов в неделю} & \text{Вероятность} \\ \hline \text{Русский язык} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{Русская литература} & 3 & 0{,}100 \\ \hline \text{Иностранный язык} & 3 & 0{,}100 \\ \hline \text{История} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{Обществознание} & 1 & 0{,}033 \\ \hline \text{Алгебра} & 3 & 0{,}100 \\ \hline \text{Геометрия} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{Информатика} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{Биология} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{География} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{Физика} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{Химия} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{Технология и ИКТ} & 1 & 0{,}033 \\ \hline \text{Музыка и ИЗО} & 1 & 0{,}033 \\ \hline \text{Физкультура} & 2 & 0{,}067 \\ \hline \text{Всего} & 30 & \\ \hline \end{array}\]

Столбец вероятностей заполняется автоматически: его заполняет одна формула из ячейки C2, скопированная на все строки. Если изменить в учебном плане часы какого-нибудь предмета, сами изменятся итог в ячейке B17 и все вероятности.

1) Алгебра — 3 урока из 30: \(P \approx \frac{3}{30} = 0{,}1\).

2) Геометрия — 2 урока из 30: \(P \approx \frac{2}{30} \approx 0{,}067\).

3) Математика — это алгебра и геометрия, \(3 + 2 = 5\) уроков; в таблице это формула =(B7+B8)/B17: \(P \approx \frac{5}{30} \approx 0{,}167\).

4) Физкультура — 2 урока из 30: \(P \approx \frac{2}{30} \approx 0{,}067\).

5) Иностранный язык — 3 урока из 30: \(P \approx \frac{3}{30} = 0{,}1\).

Ответ: да, столбец заполняется автоматически одной формулой, скопированной на все строки; 1) \(P \approx 0{,}1\); 2) \(P \approx 0{,}067\); 3) \(P \approx 0{,}167\); 4) \(P \approx 0{,}067\); 5) \(P \approx 0{,}1\).

В задаче 619 дано, сколько дней 2009 г. в Белгороде в 12.00 наблюдались данная температура и данная влажность воздуха. Нужно подсчитать частоту наблюдения в 2009 г.: 1) температуры воздуха от 11 до 20 °C среди дней, когда влажность была не более 40 %; 2) влажности воздуха от 71 до 80 % среди дней, когда температура была ниже 0 °C; 3) температуры воздуха от 21 до 30 °C и одновременно влажности воздуха от 41 до 70 %.

Порядок действий:
1. В ячейки A1:G7 перенести таблицу задачи: в строку 1 — диапазоны влажности воздуха, в столбец A — диапазоны температуры, в ячейки B2:G7 — количества дней.
2. В ячейку H1 ввести «Всего», в ячейку H2 — =СУММ(B2:G2) и протянуть до H7.
3. В ячейку A8 ввести «Всего», в ячейку B8 — =СУММ(B2:B7) и протянуть вправо до H8.

Итоги вычислены, а не переписаны, и совпали с итогами задачи; в ячейке H8 получилось 365 — все дни года. Совпадение итогов проверяет перенос данных: ошибка в любом одном числе изменила бы итоги его строки и столбца. В строках таблицы — диапазоны температуры воздуха (°C), в столбцах — диапазоны влажности воздуха (%):

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 0\text{–}40 & 41\text{–}60 & 61\text{–}70 & 71\text{–}80 & 81\text{–}90 & 91\text{–}100 & \text{Всего} \\ \hline \text{менее }{-11} & 0 & 1 & 1 & 3 & 2 & 0 & 7 \\ \hline \text{от }{-10}\text{ до }{-1} & 0 & 0 & 11 & 15 & 13 & 5 & 44 \\ \hline \text{от 0 до 10} & 10 & 19 & 12 & 13 & 19 & 47 & 120 \\ \hline \text{от 11 до 20} & 23 & 27 & 15 & 6 & 10 & 2 & 83 \\ \hline \text{от 21 до 30} & 57 & 32 & 6 & 2 & 1 & 0 & 98 \\ \hline \text{более 31} & 9 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 13 \\ \hline \text{Всего} & 99 & 83 & 45 & 39 & 45 & 54 & 365 \\ \hline \end{array}\]

1) Влажность не более 40 % — это столбец «от 0 до 40»: таких дней 99 (ячейка B8), из них с температурой от 11 до 20 °C — 23 дня (ячейка B5). Формула =B5/B8:
\(\text{Частота} = \dfrac{23}{99} \approx 0{,}232.\)

2) Температура ниже 0 °C — это строки «менее \(-11\)» и «от \(-10\) до \(-1\)»: таких дней \(7 + 44 = 51\), из них с влажностью от 71 до 80 % — \(3 + 15 = 18\) дней. Формула =(E2+E3)/(H2+H3):
\(\text{Частота} = \dfrac{18}{51} \approx 0{,}353.\)

3) Температура от 21 до 30 °C и одновременно влажность от 41 до 70 % — это две ячейки строки «от 21 до 30» в столбцах «от 41 до 60» и «от 61 до 70»: \(32 + 6 = 38\) дней из 365. Формула =(C6+D6)/H8:
\(\text{Частота} = \dfrac{38}{365} \approx 0{,}104.\)

Ответ: 1) \(\frac{23}{99} \approx 0{,}232\); 2) \(\frac{18}{51} \approx 0{,}353\); 3) \(\frac{38}{365} \approx 0{,}104\).