Дружим с компьютером § 9 на странице 283, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Каждой точке \((x_0;\ y_0)\) графика функции \(y = f(x)\) соответствует точка \((x_0;\ ky_0)\) графика функции \(y = kf(x)\). Поэтому в таблице значения аргумента оставляют прежними, а каждое значение функции умножают на \(k\).
Чтобы делать это автоматически, число \(k\) записывают в отдельную ячейку, а новые значения функции вычисляют формулой со ссылкой на эту ячейку: при замене числа \(k\) таблица и график пересчитываются сами.
Порядок действий в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc) для функции \(f(x) = x^2\) и трёх значений \(k\):
1. В ячейку A1 ввести подпись x, в B1 — f(x), в C1, D1, E1 — подписи новых столбцов.
2. В ячейки G1, G2, G3 ввести значения \(k\): 2, 0,5, -1.
3. В ячейку A2 ввести -3, в A3 — формулу =A2+1 и маркером заполнения протянуть её до A8: в столбце A получатся значения аргумента от \(-3\) до \(3\).
4. В ячейку B2 ввести формулу =A2^2 и протянуть её до B8 — это значения функции \(f(x) = x^2\).
5. В ячейку C2 ввести формулу =$G$1*B2, в D2 — =$G$2*B2, в E2 — =$G$3*B2; выделить C2:E2 и протянуть до строки 8. Знак $ закрепляет ссылку на ячейку с числом \(k\), а ссылка на значение функции при протягивании меняется.
6. Выделить диапазон A1:E8 и вставить диаграмму «Точечная с гладкими кривыми и маркерами».
Получается таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & f(x) & 2f(x) & 0{,}5f(x) & -f(x) \\ \hline -3 & 9 & 18 & 4{,}5 & -9 \\ \hline -2 & 4 & 8 & 2 & -4 \\ \hline -1 & 1 & 2 & 0{,}5 & -1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 0{,}5 & -1 \\ \hline 2 & 4 & 8 & 2 & -4 \\ \hline 3 & 9 & 18 & 4{,}5 & -9 \\ \hline \end{array}\]
При \(k = 2\) график функции \(y = x^2\) растянулся в 2 раза от оси абсцисс, при \(k = 0{,}5\) — сжался в 2 раза к оси абсцисс, при \(k = -1\) — отразился симметрично относительно оси абсцисс. У всех четырёх функций общий нуль \(x = 0\). Чтобы получить график при другом значении \(k\), достаточно заменить число в ячейке G1, G2 или G3: столбец значений и его график на диаграмме пересчитаются сами.
Ответ: значения аргумента оставляют прежними, а каждое значение функции умножают на \(k\); автоматически — число \(k\) записывают в отдельную ячейку, а новый столбец вычисляют формулой со ссылкой на неё.
В графическом редакторе (например, Paint) график функции \(y = \sqrt{x}\) рисуют так:
1. Инструментом «Линия» при нажатой клавише Shift провести оси координат и двумя короткими отрезками дорисовать на их концах стрелки; инструментом «Текст» подписать оси буквами \(x\) и \(y\), начало координат — числом 0 и концы единичных отрезков — числом 1. Единичный отрезок удобно взять равным, например, 40 пикселям: положение указателя в пикселях показано в строке состояния.
2. Инструментом «Кривая» провести линию от начала координат до точки \((9;\ 3)\) и, потянув её в двух местах, выгнуть так, чтобы она прошла через точки \((1;\ 1)\) и \((4;\ 2)\).
Каждой точке \((x_0;\ y_0)\) графика функции \(y = f(x)\) соответствует точка \((x_0;\ ky_0)\) графика функции \(y = kf(x)\): абсцисса та же, а ордината умножается на \(k\). Нули функций \(y = f(x)\) и \(y = kf(x)\) совпадают, поэтому точки графика, лежащие на оси абсцисс, остаются на месте. В графическом редакторе работают с копией графика: инструментом «Выделить» (прямоугольная область, включено «Прозрачное выделение») обвести кривую рамкой, скопировать её (Ctrl+C) и вставить (Ctrl+V). Копию изменяют, а затем перетаскивают так, чтобы её начальная точка совпала с началом координат.
При \(k > 1\) копию растягивают по вертикали: команда «Изменить размер», размер в процентах, флажок «Сохранять пропорции» снят, по горизонтали — 100, по вертикали — \(k \cdot 100\). Например, при \(k = 2\) по вертикали ставят 200 и получают график функции \(y = 2\sqrt{x}\) — растяжение графика функции \(y = \sqrt{x}\) в 2 раза от оси абсцисс; он проходит через точки \((1;\ 2)\), \((4;\ 4)\), \((9;\ 6)\).
При \(0 < k < 1\) действуют так же, но по вертикали ставят число \(k \cdot 100\), меньшее 100, и копия сжимается. Например, при \(k = 0{,}5\) по вертикали ставят 50 и получают график функции \(y = 0{,}5\sqrt{x}\) — сжатие графика функции \(y = \sqrt{x}\) в 2 раза к оси абсцисс; он проходит через точки \((1;\ 0{,}5)\), \((4;\ 1)\), \((9;\ 1{,}5)\).
При \(k = -1\) копию отражают: команда «Повернуть» → «Отразить по вертикали». После переноса начальной точки копии в начало координат получается график функции \(y = -\sqrt{x}\), симметричный графику функции \(y = \sqrt{x}\) относительно оси абсцисс; он проходит через точки \((1;\ -1)\), \((4;\ -2)\), \((9;\ -3)\).
При \(k < 0\) и \(k \ne -1\) используют оба приёма, потому что \(kf(x) = (-k) \cdot (-f(x))\), где \(-k > 0\). Сначала копию отражают («Отразить по вертикали») и получают график функции \(y = -f(x)\), а затем растягивают его в \(-k\) раз от оси абсцисс, если \(k < -1\), или сжимают в \(\frac{1}{-k}\) раз к оси абсцисс, если \(-1 < k < 0\); для этого в окне «Изменить размер» по вертикали ставят \((-k) \cdot 100\). Например, при \(k = -2\) после отражения ставят 200 и получают график функции \(y = -2\sqrt{x}\) с точками \((1;\ -2)\), \((4;\ -4)\), \((9;\ -6)\), а при \(k = -0{,}5\) — 50 и получают график функции \(y = -0{,}5\sqrt{x}\) с точками \((1;\ -0{,}5)\), \((4;\ -1)\), \((9;\ -1{,}5)\).
Ответ: при \(k > 1\) и при \(0 < k < 1\) — команда «Изменить размер» с числом \(k \cdot 100\) % по вертикали (растяжение в \(k\) раз от оси абсцисс или сжатие в \(\frac{1}{k}\) раз к оси абсцисс), при \(k = -1\) — команда «Повернуть» → «Отразить по вертикали»; график перед этим выделяют, копируют и вставляют, а копию после перетаскивают так, чтобы её точки на оси абсцисс остались на месте; при \(k < 0\), \(k \ne -1\) график сначала отражают, а затем растягивают или сжимают по вертикали, поставив \((-k) \cdot 100\) %.
