Дружим с компьютером § 13 на странице 284, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Вася собирается решить систему графическим методом — найти координаты общих точек графиков её уравнений, — а графики по таблицам должен построить табличный редактор (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc). У такого плана есть недостатки самого графического метода и недостатки построения графика по таблице.
1. Графический метод не гарантирует точного результата: координаты точек пересечения на экране определяются лишь приближённо. Например, одно из решений системы уравнений \(x^2 + y^2 = 9\) и \(xy = 3{,}5\) — пара \(\left(\frac{4 - \sqrt{2}}{2};\ \frac{4 + \sqrt{2}}{2}\right)\), а на экране можно прочитать только \((1{,}3;\ 2{,}7)\). Эта пара решением системы не является: \(1{,}3^2 + 2{,}7^2 = 8{,}98 \ne 9\). Иррациональные решения так не найти, а «удобное» решение, например с целыми координатами, на экране можно только угадать — каждую найденную на экране пару нужно проверять подстановкой.
2. Таблица задаёт значения только на выбранном участке, а где лежат точки пересечения, заранее неизвестно: точки вне участка на экран не попадут. Например, графики \(y = x^2\) и \(y = 10x - 9\) пересекаются в точках \((1;\ 1)\) и \((9;\ 81)\); если таблица составлена для \(x\) от \(-5\) до 5, то на экране будет только одна точка пересечения, и Вася решит, что решение одно.
3. Между точками таблицы редактор проводит отрезки или сглаженную линию, которая лишь приближённо повторяет график; чем больше шаг, тем сильнее могут сместиться точки пересечения. Касание графиков и две близкие точки пересечения на экране не различить, поэтому можно ошибиться даже в количестве решений. Например, если к уравнению \(y = x^2\) добавить уравнение \(y = 2x - 1\), \(y = 2x - 0{,}99\) или \(y = 2x - 1{,}01\), то на экране все три системы выглядят одинаково — прямая будто касается параболы около точки \((1;\ 1)\), — а решений у них соответственно одно, два и ни одного: дискриминанты уравнений \(x^2 - 2x + 1 = 0\), \(x^2 - 2x + 0{,}99 = 0\) и \(x^2 - 2x + 1{,}01 = 0\) равны \(0\), \(0{,}04\) и \(-0{,}04\).
4. Для таблицы каждое уравнение надо сначала разрешить относительно \(y\), и одной формулы может не хватить. Окружность \(x^2 + y^2 = 9\) не является графиком функции: её задают две формулы, \(y = \sqrt{9 - x^2}\) и \(y = -\sqrt{9 - x^2}\), причём только при \(-3 \leqslant x \leqslant 3\). У функции \(y = \frac{3{,}5}{x}\) нет значения при \(x = 0\); если в таблице перейти от \(x = -0{,}5\) сразу к \(x = 0{,}5\), редактор соединит линией точки \((-0{,}5;\ -7)\) и \((0{,}5;\ 7)\) разных ветвей гиперболы, и на экране появятся две лишние «точки пересечения» этой линии с окружностью.
Поэтому графики на экране годятся лишь для того, чтобы оценить количество решений и их приближённые значения. Найденные так пары нужно проверить подстановкой в оба уравнения системы, а точные решения находить методом подстановки или методом сложения.
Ответ: по графикам на экране координаты точек пересечения находятся лишь приближённо: иррациональных решений так не получить, а каждую найденную пару, даже с целыми координатами, надо проверять подстановкой; точки пересечения вне участка, выбранного для таблицы, теряются; между точками таблицы линия лишь приближённо повторяет график, поэтому касание не отличить от двух близких точек пересечения и можно ошибиться в количестве решений; уравнение надо сначала разрешить относительно \(y\) (окружность задают две формулы), а там, где формула не определена, линия соединяет разные ветви гиперболы и даёт лишние точки пересечения.
