Дружим с компьютером § 19 на странице 286, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Если испытание может закончиться одним из \(n\) равновозможных результатов, из которых \(m\) приводят к наступлению события \(A\), то вероятность события \(A\) равна \(P(A) = \frac{m}{n}\). Таблица помогает перебрать все \(n\) результатов и подсчитать среди них \(m\) благоприятных.

Чтобы результаты подбрасывания двух одинаковых монет были равновозможными, монеты различают — нумеруют. Тогда возможны четыре равновозможных результата, показанные на рисунке: первая монета — герб, вторая — число; первая — число, вторая — герб; обе монеты — герб; обе монеты — число.

Таблицу в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc) составляют так:
1. В ячейку A1 ввести заголовок «Результат», в ячейки A2:A5 — четыре результата, по одному в строке: «герб, число», «число, герб», «герб, герб», «число, число» (сначала записан результат первой монеты, затем второй).
2. Во второй колонке, начиная с ячейки B2, против каждого результата поставить отметку: 1, если результат благоприятный для события из условия задачи, и 0, если нет. Если событий в задаче несколько, каждому отводят свою колонку отметок: B, C и т. д.
3. В ячейку B6 ввести =СУММ(B2:B5) — количество \(m\) благоприятных результатов: сумма отметок равна количеству единиц. То же число даёт формула =СЧЁТЕСЛИ(B2:B5;1).
4. В ячейку B7 ввести =B6/СЧЁТЗ($A$2:$A$5) — вероятность \(P(A) = \frac{m}{n}\): функция СЧЁТЗ подсчитывает непустые ячейки, то есть количество \(n\) всех результатов.
5. Ячейке B7 задать дробный формат (знаменатель — до двух цифр): вероятность будет записана обыкновенной дробью, например \(\frac{1}{4}\), а не \(0{,}25\).
6. Выделить ячейки B6:B7 и протянуть маркером заполнения вправо — под каждую колонку отметок. Диапазон $A$2:$A$5 закреплён знаками доллара и при копировании не сдвигается.

Отметки тоже можно ставить автоматически, если условие события записывается формулой: функция ЕСЛИ выдаёт 1, когда условие выполнено, и 0, когда не выполнено. Например, формула =ЕСЛИ(A2="герб, герб";1;0), протянутая до строки 5, отмечает результат «выпали два герба».

Ответ: количество благоприятных результатов подсчитывает функция СУММ (или СЧЁТЕСЛИ), количество всех результатов — функция СЧЁТЗ, вероятность \(P(A) = \frac{m}{n}\) — формула, которая делит первое число на второе; отметки по условию задачи может ставить функция ЕСЛИ.

В задаче 654 одновременно бросают две монеты. Нужно найти вероятность того, что выпадут: 1) два герба; 2) герб и число.

Всех результатов \(n = 4\), и все они равновозможные. Отметки для пункта 1) ставят в колонке B, для пункта 2) — в колонке C:

\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Результат} & \text{1) два герба} & \text{2) герб и число} \st \\ \hline \text{герб, число} & 0 & 1 \st \\ \hline \text{число, герб} & 0 & 1 \st \\ \hline \text{герб, герб} & 1 & 0 \st \\ \hline \text{число, число} & 0 & 0 \st \\ \hline m & 1 & 2 \st \\ \hline P & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} \st \\ \hline \end{array}\]

1) Два герба выпадают только в результате «герб, герб»: \(m = 1\), \(P = \frac{1}{4}\).

2) Герб и число выпадают в двух результатах — «герб, число» и «число, герб»: \(m = 2\), \(P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Ответ: 1) \(\frac{1}{4}\); 2) \(\frac{1}{2}\).

Во всех задачах таблицу составляют так же: в первой колонке — все равновозможные результаты испытания, по одному в строке; в следующих колонках — отметки 1 и 0, своя колонка для каждого пункта задачи; под колонками отметок — количество \(m\) благоприятных результатов (функция СУММ) и вероятность \(P = \frac{m}{n}\), где \(n\) — количество всех результатов (функция СЧЁТЗ). Когда результаты — числа, отметки ставит функция ЕСЛИ, а делимость проверяет функция ОСТАТ: ОСТАТ(A2;2) — остаток от деления числа из ячейки A2 на 2. Например, формула =ЕСЛИ(ОСТАТ(A2;2)=0;1;0) отмечает чётные числа. Отметки, которые неудобно задавать формулой (простые числа, числа с данной цифрой в записи), ставят вручную.

Задача 634.

Игральный кубик бросают один раз. Нужно найти вероятность того, что выпадет количество очков, равное: 1) одному; 2) трём; 3) чётному числу; 4) числу, кратному 5; 5) числу, которое не делится нацело на 3; 6) числу, кратному 7.

Результатов шесть, все они равновозможные: в ячейках A2:A7 — числа от 1 до 6, \(n = 6\). Отметки для пунктов 1)–6) ставят в колонках B–G формулы, протянутые до строки 7: =ЕСЛИ(A2=1;1;0), =ЕСЛИ(A2=3;1;0), =ЕСЛИ(ОСТАТ(A2;2)=0;1;0), =ЕСЛИ(ОСТАТ(A2;5)=0;1;0), =ЕСЛИ(ОСТАТ(A2;3)<>0;1;0) (знак <> означает «не равно»), =ЕСЛИ(ОСТАТ(A2;7)=0;1;0).

\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Очки} & \text{1)} & \text{2)} & \text{3)} & \text{4)} & \text{5)} & \text{6)} \st \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \st \\ \hline 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \st \\ \hline 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \st \\ \hline 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \st \\ \hline 5 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \st \\ \hline 6 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \st \\ \hline m & 1 & 1 & 3 & 1 & 4 & 0 \st \\ \hline P & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{2}{3} & 0 \st \\ \hline \end{array}\]

Дробный формат сам сокращает дроби: в пункте 3) \(P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), в пункте 5) \(P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). В пункте 6) благоприятных результатов нет: событие невозможное, \(P = 0\).

Задача 642.

В коробке лежат 23 карточки, пронумерованные от 1 до 23, наугад берут одну. Нужно найти вероятность того, что на ней записано число: 1) 12; 2) 24; 3) чётное; 4) нечётное; 5) кратное 3; 6) кратное 7; 7) двузначное; 8) простое; 9) в записи которого есть цифра 9; 10) в записи которого есть цифра 1; 11) в записи которого отсутствует цифра 5; 12) сумма цифр которого делится нацело на 5; 13) которое при делении на 7 даёт в остатке 5; 14) в записи которого отсутствует цифра 1.

Результатов 23, все они равновозможные: в ячейку A2 ввести 1, в ячейку A3 — =A2+1 и протянуть до A24, \(n = 23\). Для 14 пунктов нужны 14 колонок отметок — от B до O. Отметки пунктов 1)–7) и 13) ставят формулы, например: в пункте 5) — =ЕСЛИ(ОСТАТ(A2;3)=0;1;0), в пункте 7) — =ЕСЛИ(A2>9;1;0), в пункте 13) — =ЕСЛИ(ОСТАТ(A2;7)=5;1;0); остальные отметки ставят вручную.

1) Благоприятен один результат — карточка с числом 12: \(m = 1\), \(P = \frac{1}{23}\).

2) Карточки с числом 24 в коробке нет, в колонке отметок одни нули: событие невозможное, \(m = 0\), \(P = 0\).

3) Благоприятны чётные числа \(2, 4, 6, \ldots, 22\): \(m = 11\), \(P = \frac{11}{23}\).

4) Благоприятны нечётные числа \(1, 3, 5, \ldots, 23\): \(m = 12\), \(P = \frac{12}{23}\).

5) Благоприятны числа, кратные 3, — \(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\): \(m = 7\), \(P = \frac{7}{23}\).

6) Благоприятны числа, кратные 7, — \(7, 14, 21\): \(m = 3\), \(P = \frac{3}{23}\).

7) Благоприятны двузначные числа \(10, 11, \ldots, 23\): \(m = 14\), \(P = \frac{14}{23}\).

8) Благоприятны простые числа \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\): \(m = 9\), \(P = \frac{9}{23}\).

9) Цифра 9 есть в записи чисел 9 и 19: \(m = 2\), \(P = \frac{2}{23}\).

10) Цифра 1 есть в записи чисел \(1, 10, 11, \ldots, 19, 21\): \(m = 12\), \(P = \frac{12}{23}\).

11) Цифры 5 нет в записи всех чисел, кроме 5 и 15: \(m = 21\), \(P = \frac{21}{23}\).

12) Сумма цифр делится нацело на 5 у чисел \(5, 14, 19, 23\) (суммы цифр 5, 5, 10, 5): \(m = 4\), \(P = \frac{4}{23}\).

13) При делении на 7 дают в остатке 5 числа \(5, 12, 19\): \(m = 3\), \(P = \frac{3}{23}\).

14) Цифры 1 нет в записи чисел \(2, 3, \ldots, 9, 20, 22, 23\): \(m = 11\), \(P = \frac{11}{23}\).

Задача 643.

Из натуральных чисел от 1 до 30 наугад выбирают одно число. Нужно найти вероятность того, что это число будет: 1) простым; 2) делителем числа 18; 3) квадратом натурального числа.

Результатов 30, все они равновозможные: в ячейках A2:A31 — числа от 1 до 30, \(n = 30\). Отметки пункта 2) ставит формула =ЕСЛИ(ОСТАТ(18;A2)=0;1;0): число из колонки A — делитель числа 18, если 18 делится на него без остатка. Отметки пунктов 1) и 3) ставят вручную.

1) Благоприятны простые числа \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\): \(m = 10\), \(P = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\).

2) Благоприятны делители числа 18 — числа \(1, 2, 3, 6, 9, 18\): \(m = 6\), \(P = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

3) Благоприятны квадраты натуральных чисел — числа \(1, 4, 9, 16, 25\): \(m = 5\), \(P = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\).

Задача 653.

Одновременно бросают два игральных кубика. Нужно найти вероятность того, что выпадут: 1) две единицы; 2) два одинаковых числа; 3) числа, сумма которых равна 7; 4) числа, сумма которых больше 10; 5) числа, произведение которых равно 6.

Кубики различают: первый и второй. Результат испытания — пара чисел: количество очков на первом кубике и на втором. На первом кубике может выпасть 6 разных количеств очков, и при каждом из них на втором — тоже 6, поэтому, по правилу произведения, равновозможных результатов \(6 \cdot 6 = 36\). В таблице собраны все они: строка — очки на первом кубике, колонка — очки на втором.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1;\ 1) & (1;\ 2) & (1;\ 3) & (1;\ 4) & (1;\ 5) & (1;\ 6) \\ \hline 2 & (2;\ 1) & (2;\ 2) & (2;\ 3) & (2;\ 4) & (2;\ 5) & (2;\ 6) \\ \hline 3 & (3;\ 1) & (3;\ 2) & (3;\ 3) & (3;\ 4) & (3;\ 5) & (3;\ 6) \\ \hline 4 & (4;\ 1) & (4;\ 2) & (4;\ 3) & (4;\ 4) & (4;\ 5) & (4;\ 6) \\ \hline 5 & (5;\ 1) & (5;\ 2) & (5;\ 3) & (5;\ 4) & (5;\ 5) & (5;\ 6) \\ \hline 6 & (6;\ 1) & (6;\ 2) & (6;\ 3) & (6;\ 4) & (6;\ 5) & (6;\ 6) \\ \hline \end{array}\]

В табличном редакторе пары записывают в две первые колонки, по одной паре в строке: в ячейки A2:A37 — очки на первом кубике (шесть единиц, шесть двоек, …, шесть шестёрок), в ячейки B2:B37 — очки на втором (в ячейки B2:B7 ввести числа от 1 до 6 и скопировать этот блок ниже ещё пять раз), \(n = 36\). Отметки для пунктов 1)–5) ставят в колонках C–G формулы, протянутые до строки 37: =ЕСЛИ(И(A2=1;B2=1);1;0), =ЕСЛИ(A2=B2;1;0), =ЕСЛИ(A2+B2=7;1;0), =ЕСЛИ(A2+B2>10;1;0), =ЕСЛИ(A2*B2=6;1;0); функция И проверяет, выполнены ли оба условия сразу.

1) Две единицы выпадают только в результате \((1;\ 1)\): \(m = 1\), \(P = \frac{1}{36}\).

2) Два одинаковых числа выпадают в результатах \((1;\ 1)\), \((2;\ 2)\), \((3;\ 3)\), \((4;\ 4)\), \((5;\ 5)\), \((6;\ 6)\): \(m = 6\), \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

3) Сумма очков равна 7 в результатах \((1;\ 6)\), \((2;\ 5)\), \((3;\ 4)\), \((4;\ 3)\), \((5;\ 2)\), \((6;\ 1)\): \(m = 6\), \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

4) Сумма очков больше 10, то есть равна 11 или 12, в результатах \((5;\ 6)\), \((6;\ 5)\), \((6;\ 6)\): \(m = 3\), \(P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).

5) Произведение очков равно 6 в результатах \((1;\ 6)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ 2)\), \((6;\ 1)\): \(m = 4\), \(P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\).

Задача 656.

Игральный кубик бросают два раза. Нужно найти вероятность того, что: 1) в первый раз выпадет число, меньшее 5, а во второй — большее 4; 2) шестёрка выпадет только во второй раз; 3) в первый раз выпадет больше очков, чем во второй.

Бросить кубик два раза — то же самое, что бросить два кубика: первое число пары — очки при первом броске, второе — при втором. Поэтому таблица та же, что в задаче 653: 36 равновозможных результатов в колонках A и B, \(n = 36\). Отметки для пунктов 1)–3) ставят в колонках C–E формулы =ЕСЛИ(И(A2<5;B2>4);1;0), =ЕСЛИ(И(A2<>6;B2=6);1;0), =ЕСЛИ(A2>B2;1;0).

1) В первый раз выпадает 1, 2, 3 или 4 очка, во второй — 5 или 6. Благоприятны результаты \((1;\ 5)\), \((1;\ 6)\), \((2;\ 5)\), \((2;\ 6)\), \((3;\ 5)\), \((3;\ 6)\), \((4;\ 5)\), \((4;\ 6)\): \(m = 8\), \(P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}\).

2) Шестёрка выпадает только во второй раз, если в первый раз выпало не 6 очков, а во второй — 6. Благоприятны результаты \((1;\ 6)\), \((2;\ 6)\), \((3;\ 6)\), \((4;\ 6)\), \((5;\ 6)\): \(m = 5\), \(P = \frac{5}{36}\).

3) В первый раз выпадает больше очков, чем во второй: при 2 очках в первый раз таких результатов один — \((2;\ 1)\), при 3 очках — два, при 4 — три, при 5 — четыре, при 6 — пять. Всего \(m = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\), \(P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\).

Ответ: 634: 1) \(\frac{1}{6}\); 2) \(\frac{1}{6}\); 3) \(\frac{1}{2}\); 4) \(\frac{1}{6}\); 5) \(\frac{2}{3}\); 6) 0; 642: 1) \(\frac{1}{23}\); 2) 0; 3) \(\frac{11}{23}\); 4) \(\frac{12}{23}\); 5) \(\frac{7}{23}\); 6) \(\frac{3}{23}\); 7) \(\frac{14}{23}\); 8) \(\frac{9}{23}\); 9) \(\frac{2}{23}\); 10) \(\frac{12}{23}\); 11) \(\frac{21}{23}\); 12) \(\frac{4}{23}\); 13) \(\frac{3}{23}\); 14) \(\frac{11}{23}\); 643: 1) \(\frac{1}{3}\); 2) \(\frac{1}{5}\); 3) \(\frac{1}{6}\); 653: 1) \(\frac{1}{36}\); 2) \(\frac{1}{6}\); 3) \(\frac{1}{6}\); 4) \(\frac{1}{12}\); 5) \(\frac{1}{9}\); 656: 1) \(\frac{2}{9}\); 2) \(\frac{5}{36}\); 3) \(\frac{5}{12}\).

Таблица вычисляет вероятность как отношение \(\frac{m}{n}\) количества отмеченных строк к количеству всех строк. Такое отношение равно вероятности события, только если испытание может закончиться одним из \(n\) равновозможных результатов: если результаты не равновозможны, классическое определение вероятности применять нельзя. Поэтому в строках таблицы должны быть записаны все возможные результаты испытания, каждый ровно один раз, и все эти результаты должны быть равновозможными.

Например, если не различать монеты и записать для двух монет три строки — «два герба», «два числа», «герб и число», — то таблица даст для двух гербов вероятность \(\frac{1}{3}\) вместо \(\frac{1}{4}\). Ошибка возникает потому, что эти три результата не равновозможны: «герб и число» получается в двух случаях из четырёх, а «два герба» — только в одном.

Ответ: все результаты, записанные в строках таблицы, должны быть равновозможными; кроме того, в таблице должны быть все возможные результаты испытания, каждый — ровно в одной строке.