Проектная работа 8 на странице 279, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

План доклада:
1. Правило суммы и повторный счёт.
2. Формула для двух множеств.
3. Формула для трёх множеств.
4. Общий вид формулы и задача о письмах.
5. Формула включений и исключений и вероятность.

Презентация к докладу: «Формула включений и исключений», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Правило суммы и повторный счёт

Цель работы — изучить формулу включений и исключений и показать, как она применяется в задачах на подсчёт.

Количество элементов конечного множества \(A\) обозначим \(|A|\). По правилу суммы, если множества \(A\) и \(B\) не имеют общих элементов, то \(|A \cup B| = |A| + |B|\). Если же общие элементы есть, сумма \(|A| + |B|\) учитывает их дважды. Например, в классе 30 учеников, 18 из них ходят в математический кружок, 14 — в шахматный, а \(18 + 14 = 32 > 30\): кто ходит в оба кружка, учтён дважды.

2. Формула для двух множеств

Элементы пересечения \(A \cap B\) входят и в \(|A|\), и в \(|B|\); вычтя их один раз, получим формулу включений и исключений:

\(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.\)

Пусть в оба кружка ходят 6 учеников. Тогда хотя бы в один кружок ходят \(18 + 14 - 6 = 26\) учеников, ни в один — \(30 - 26 = 4\), только в математический — \(18 - 6 = 12\), только в шахматный — \(14 - 6 = 8\). Изобразим множества кругами Эйлера (по имени Леонарда Эйлера, 1707–1783):

3. Формула для трёх множеств

Для трёх множеств формула такова:

\(\begin{aligned} &|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - {} \\ &- |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \end{aligned}\)

Элемент ровно одного множества учтён в ней один раз, элемент ровно двух множеств — \(2 - 1 = 1\) раз, элемент всех трёх — \(3 - 3 + 1 = 1\) раз.

Найдём, сколько чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5. Пусть \(A\), \(B\), \(C\) — множества чисел, кратных 2, 3 и 5. Так как \(100 = 3 \cdot 33 + 1\), то \(|B| = 33\); так же находим \(|A| = 50\), \(|C| = 20\), \(|A \cap B| = 16\) (кратные 6), \(|A \cap C| = 10\) (кратные 10), \(|B \cap C| = 6\) (кратные 15), \(|A \cap B \cap C| = 3\) (кратные 30). Тогда \(|A \cup B \cup C| = 50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74\), а ни на одно из чисел 2, 3, 5 не делятся \(100 - 74 = 26\) чисел.

4. Общий вид формулы и задача о письмах

Для \(n\) множеств складывают количества элементов всех множеств, вычитают — всех попарных пересечений, прибавляют — всех тройных и т. д., чередуя знаки.

Четыре письма наугад раскладывают по четырём конвертам. По правилу произведения всего раскладок \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\). Пусть \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) — множества раскладок, при которых первое, второе, третье, четвёртое письмо попало в свой конверт. Тогда \(|A_1| = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\), пересечение для каждой из 6 пар писем содержит \(2 \cdot 1 = 2\) раскладки, для каждой из 4 троек и для всех четырёх писем — по 1. Хотя бы одно письмо в своём конверте в \(4 \cdot 6 - 6 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 1 = 15\) раскладках, а ни одно — в \(24 - 15 = 9\) раскладках.

5. Формула включений и исключений и вероятность

Все 24 раскладки равновозможны, поэтому вероятность того, что ни одно письмо не попадёт в свой конверт, равна \(\frac{9}{24} = \frac{3}{8} = 0{,}375\). Для пяти писем тем же способом получаем \(120 - 5 \cdot 24 + 10 \cdot 6 - 10 \cdot 2 + 5 \cdot 1 - 1 = 44\) раскладки и вероятность \(\frac{44}{120} \approx 0{,}367\). С ростом числа писем эта вероятность почти не меняется: она становится сколь угодно близкой к числу \(0{,}3679\ldots\).

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что формула включений и исключений обобщает правило суммы на множества с общими элементами: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\), а для трёх и более множеств знаки слагаемых чередуются. С её помощью найдено, что 26 чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, а четыре письма можно разложить так, чтобы ни одно не попало в свой конверт, 9 способами (вероятность \(\frac{3}{8}\)).