Дружим с компьютером § 11 на странице 284, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Дружим с компьютером. Страница 284, дружим с компьютером § 11

Решение:

Парабола задана уравнением $y = ax^2 + bx + c$. Запишите алгоритм для определения таких характеристик параболы: направление ветвей, координаты вершины, точки пересечения с осями координат, входными данными для которого являются значения $a$, $b$, $c$.

Графиком функции $y = ax^2 + bx + c$, где $a \ne 0$, является парабола. Если $a > 0$, то её ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз. Вершина параболы — точка $(x_0;\ y_0)$, где $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{D}{4a}$, а $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$.
Абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс — нули функции, то есть корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. При $D > 0$ корней два: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$. При $D = 0$ корень один — абсцисса вершины $x_0$: парабола касается оси абсцисс вершиной. При $D < 0$ корней нет, и общих точек с осью абсцисс у параболы нет.
Ось ординат парабола пересекает в точке с абсциссой 0: при $x = 0$ получаем $y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$, то есть это точка $(0;\ c)$.

Входные данные: $a$, $b$, $c$ — коэффициенты, $a \ne 0$.
Выходные данные: направление ветвей; координаты вершины $(x_0;\ y_0)$; координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс (двух, одной или ни одной) и с осью ординат.

Алгоритм:
1. Ввести $a$, $b$, $c$.
2. Если $a = 0$, то вывести сообщение «неверные данные» (функция не квадратичная) и закончить работу.
3. Если $a > 0$, то вывести «ветви направлены вверх», иначе вывести «ветви направлены вниз».
4. Вычислить $D = b^2 - 4ac$, $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = -\frac{D}{4a}$ и вывести координаты вершины $(x_0;\ y_0)$.
5. Если $D > 0$, то вычислить $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и вывести точки пересечения с осью абсцисс $(x_1;\ 0)$ и $(x_2;\ 0)$.
6. Если $D = 0$, то вывести единственную общую точку с осью абсцисс — вершину $(x_0;\ 0)$.
7. Если $D < 0$, то вывести сообщение «с осью абсцисс парабола не пересекается».
8. Вывести точку пересечения с осью ординат $(0;\ c)$.

Ответ: ветви параболы направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$; вершина — точка $\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{D}{4a}\right)$, где $D = b^2 - 4ac$; при $D > 0$ парабола пересекает ось абсцисс в точках $\left(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a};\ 0\right)$ и $\left(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a};\ 0\right)$, при $D = 0$ касается её в вершине, при $D < 0$ общих точек с ней не имеет; ось ординат парабола пересекает в точке $(0;\ c)$.

Пользуясь этим алгоритмом, определите, какой участок параболы целесообразно изобразить на графике. Автоматизируйте процесс составления соответствующей таблицы значений функции и постройте график по полученной таблице. Как вы будете выбирать значения аргумента функции для этой таблицы, чтобы график получился как можно более точным?

Общее представление о графике дают вершина и направление ветвей, и оно тем полнее, чем больше точек графика известно; самые важные из них — точки пересечения с осями координат. Поэтому на графике должны быть вершина и все точки пересечения с осями, которые находит алгоритм. Парабола симметрична относительно прямой $x = x_0$, поэтому участок удобно брать симметричным относительно этой прямой: значения $x$ — от $x_0 - m$ до $x_0 + m$.
Расстояние от $x_0$ до каждого из нулей функции равно $\frac{\sqrt{D}}{2|a|}$ (при $D > 0$), а до числа 0 — абсциссы точки пересечения с осью ординат — равно $|x_0|$. Число $m$ берут немного больше наибольшего из этих расстояний, например на 1: запас нужен, чтобы крайние из найденных точек не оказались на краю рисунка и за ними были видны ветви параболы.

Чтобы график получился как можно более точным, значения аргумента для таблицы выбирают:

1. Симметрично относительно абсциссы вершины, с постоянным шагом $h$: $x_0$, $x_0 \pm h$, $x_0 \pm 2h$, … Тогда вершина попадает в таблицу и линия графика проходит точно через неё, а значения функции в симметричных точках равны — обе ветви получаются одинаковыми, и одну половину таблицы можно проверить по другой.

2. Так, чтобы они заполняли весь участок от $x_0 - m$ до $x_0 + m$: тогда на графике будут все точки пересечения с осями.

3. С маленьким шагом: чем больше точек, тем точнее плавная линия, которую редактор проводит через точки таблицы, повторяет параболу, особенно около вершины, где парабола изгибается сильнее всего. Возьмём по 8 значений с каждой стороны от вершины, то есть шаг $h = \frac{m}{8}$, — всего 17 значений.

4. По возможности так, чтобы нули функции и число 0 попали в таблицу: тогда линия графика проходит точно через точки пересечения с осями координат.

Таблицу составим в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc) так, чтобы её строили формулы: коэффициенты вводятся в отдельные ячейки, а всё остальное вычисляется по ссылкам на них.
1. В ячейки A1:A8 ввести подписи a, b, c, D, x0, y0, m, h, а в ячейки B1:B3 — коэффициенты функции.
2. В ячейку B4 ввести формулу дискриминанта =B2^2-4*B1*B3, в B5 — абсциссу вершины =-B2/(2*B1), в B6 — её ординату =-B4/(4*B1).
3. В ячейку B7 ввести число $m$: =МАКС(ABS(B5);ЕСЛИ(B4>0;КОРЕНЬ(B4)/(2*ABS(B1));0))+1, в B8 — шаг =B7/8.
4. В ячейки D1 и E1 ввести подписи x и y, в D2 — левый конец участка =B5-B7, в D3 — =D2+$B$8 и маркером заполнения протянуть D3 до D18.
5. В ячейку E2 ввести =$B$1*D2^2+$B$2*D2+$B$3 и протянуть её до E18.
6. Выделить диапазон D1:E18 и вставить диаграмму «Точечная с гладкими кривыми и маркерами».
Если ввести в ячейки B1:B3 коэффициенты другой квадратичной функции, редактор сам пересчитает вершину, участок, таблицу и график — процесс автоматизирован.

Для функции $f(x) = x^2 + 4x - 5$ имеем $a = 1$, $b = 4$, $c = -5$, и алгоритм даёт:

$a = 1 > 0$ — ветви параболы направлены вверх.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36$, $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_0 = -\frac{36}{4 \cdot 1} = -9$ — вершина $(-2;\ -9)$.
$D > 0$, $\sqrt{D} = 6$, $x_1 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 1} = -5$, $x_2 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 1} = 1$ — точки пересечения с осью абсцисс $(-5;\ 0)$ и $(1;\ 0)$.
$f(0) = -5$ — точка пересечения с осью ординат $(0;\ -5)$.

Расстояние от $x_0 = -2$ до нулей функции $-5$ и 1 равно 3, а до числа 0 равно 2. Значит, $m = 3 + 1 = 4$, участок — от $-2 - 4 = -6$ до $-2 + 4 = 2$, то есть отрезок $[-6;\ 2]$, а шаг $h = \frac{4}{8} = 0{,}5$. При таком шаге в таблицу попадают нули функции $-5$ и 1, а также число 0. Те же числа $D = 36$, $x_0 = -2$, $y_0 = -9$, $m = 4$, $h = 0{,}5$ появятся в ячейках B4:B8, а в столбцах D и E — таблица значений:

\[\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline -6 & 7 \\ \hline -5{,}5 & 3{,}25 \\ \hline -5 & 0 \\ \hline -4{,}5 & -2{,}75 \\ \hline -4 & -5 \\ \hline -3{,}5 & -6{,}75 \\ \hline -3 & -8 \\ \hline -2{,}5 & -8{,}75 \\ \hline -2 & -9 \\ \hline -1{,}5 & -8{,}75 \\ \hline -1 & -8 \\ \hline -0{,}5 & -6{,}75 \\ \hline 0 & -5 \\ \hline 0{,}5 & -2{,}75 \\ \hline 1 & 0 \\ \hline 1{,}5 & 3{,}25 \\ \hline 2 & 7 \\ \hline \end{array}\]

В точках, симметричных относительно $x_0 = -2$, значения функции равны: в точках $-6$ и 2 они равны 7, в точках $-4$ и 0 равны $-5$ и т. д. Диаграмма «Точечная с гладкими кривыми и маркерами» проводит через точки таблицы плавную линию — график функции $y = x^2 + 4x - 5$:

график

Ответ: изображать участок параболы, на котором $x$ меняется от $x_0 - m$ до $x_0 + m$, где $m$ немного (например, на 1) больше наибольшего из расстояний от $x_0$ до нулей функции и до числа 0; значения аргумента брать симметрично относительно $x_0$ — $x_0$, $x_0 \pm h$, $x_0 \pm 2h$, … — с маленьким шагом $h$ и по возможности так, чтобы нули функции и число 0 попали в таблицу; для функции $y = x^2 + 4x - 5$ — отрезок $[-6;\ 2]$ и шаг $0{,}5$.

Решение подготовила Екатерина Копова, учитель математики первой категории

Страницы 283-284, дружим с компьютером § 10 Страница 284, дружим с компьютером § 12

смотреть все номера