Проектная работа 6 на странице 278, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
План доклада:
1. Что такое цепная дробь.
2. Алгоритм Евклида.
3. Подходящие дроби.
4. Число \(\sqrt{2}\) и золотое сечение.
5. Приближения числа \(\pi\) и календарь.
Презентация к докладу: «Цепные дроби», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Что такое цепная дробь
Цель работы — изучить цепные дроби и их применение к приближению чисел.
Пусть \(a_0\) — целое число, \(a_1, \ldots, a_n\) — натуральные. Цепной (непрерывной) дробью называют выражение
\(a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{a_n}}}.\)
Кратко пишут \([a_0;\ a_1,\ \ldots,\ a_n]\). Дробь сворачивают «снизу вверх»: \(3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}\), поэтому
\([2;\ 3,\ 7] = 2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{7}} = 2 + \dfrac{7}{22} = \dfrac{51}{22}.\)
2. Алгоритм Евклида
Элементы цепной дроби — неполные частные алгоритма Евклида: числитель делят с остатком на знаменатель, знаменатель — на остаток и т. д. до нулевого остатка. Для дроби \(\frac{1071}{462}\):
\(1071 = 462 \cdot 2 + 147,\)
\(462 = 147 \cdot 3 + 21,\)
\(147 = 21 \cdot 7.\)
Значит, \(\frac{1071}{462} = [2;\ 3,\ 7] = \frac{51}{22}\), а последний ненулевой остаток — НОД\((1071, 462) = 21\). Остатки убывают, поэтому рациональное число — конечная цепная дробь, а иррациональное — бесконечная: конечная дробь сворачивается в обыкновенную.
3. Подходящие дроби
Оборвав цепную дробь на элементе \(a_k\), получают подходящую дробь \(\frac{p_k}{q_k}\), где \(p_k = a_kp_{k-1} + p_{k-2}\), \(q_k = a_kq_{k-1} + q_{k-2}\), \(p_0 = a_0\), \(q_0 = 1\), \(p_1 = a_0a_1 + 1\), \(q_1 = a_1\). Для \(\frac{43}{30} = [1;\ 2,\ 3,\ 4]\): \(p_2 = 3 \cdot 3 + 1 = 10\), \(q_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7\), \(p_3 = 4 \cdot 10 + 3 = 43\), \(q_3 = 4 \cdot 7 + 2 = 30\). Подходящие дроби \(1\), \(\frac{3}{2}\), \(\frac{10}{7}\), \(\frac{43}{30}\) попеременно меньше и больше числа, соседние отличаются на \(\frac{1}{q_kq_{k-1}}\): \(\frac{10}{7} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{14}\), \(\frac{43}{30} - \frac{10}{7} = \frac{1}{210}\). Поэтому погрешность приближения \(\frac{p_k}{q_k}\) не больше \(\frac{1}{q_kq_{k+1}}\).
4. Число \(\sqrt{2}\) и золотое сечение
Так как \((\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 1\), то \(\sqrt{2} - 1 = \frac{1}{2 + (\sqrt{2} - 1)}\); повторяя подстановку, получим \(\sqrt{2} = [1;\ 2,\ 2,\ \ldots]\). Подходящие дроби: \(\frac{3}{2}\), \(\frac{7}{5}\), \(\frac{17}{12}\), \(\frac{41}{29}\), \(\frac{99}{70}\). Так как \(99^2 - 2 \cdot 70^2 = 9801 - 9800 = 1\), то
\(\dfrac{99}{70} - \sqrt{2} = \dfrac{1}{4900\left(\dfrac{99}{70} + \sqrt{2}\right)} < \dfrac{1}{4900 \cdot 2{,}8} < 0{,}0001.\)
Золотое сечение \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) — положительный корень уравнения \(x^2 = x + 1\) (\(D = 1 + 4 = 5\)). Разделив обе части на \(x\), получим \(x = 1 + \frac{1}{x}\), откуда \(\varphi = [1;\ 1,\ 1,\ \ldots]\) и \(p_k = p_{k-1} + p_{k-2}\): подходящие дроби \(\frac{2}{1}\), \(\frac{3}{2}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{8}{5}\), … — отношения соседних чисел Фибоначчи.
5. Приближения числа \(\pi\) и календарь
Для \(\pi = [3;\ 7,\ 15,\ 1,\ 292,\ \ldots]\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline a_k & 3 & 7 & 15 & 1 \\ \hline p_k & 3 & 22 & 333 & 355 \\ \hline q_k & 1 & 7 & 106 & 113 \\ \hline \end{array}\]
Дробь \(\frac{22}{7}\) знал ещё Архимед. Элемент 292 велик: \(q_4 = 292 \cdot 113 + 106 = 33\,102\), и дробь \(\frac{355}{113}\) отличается от \(\pi\) меньше чем на \(\frac{1}{113 \cdot 33\,102} < 0{,}000\,0003\).
Год длится около \(365{,}2422\) суток, и \(0{,}2422 = [0;\ 4,\ 7,\ 1,\ 3,\ \ldots]\). Подходящие дроби \(\frac{1}{4}\), \(\frac{7}{29}\), \(\frac{8}{33}\), \(\frac{31}{128}\) — правила високосных лет: при \(\frac{1}{4}\) (юлианский календарь) сутки ошибки набегают за 128 лет, при \(\frac{31}{128}\) — лишь за многие тысячи лет.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что подходящие дроби дают наилучшие приближения чисел: \(\frac{355}{113}\) для \(\pi\), \(\frac{99}{70}\) для \(\sqrt{2}\), отношения чисел Фибоначчи для золотого сечения, правила високосных лет. Продолжить тему можно по книге А. Я. Хинчина «Цепные дроби».
