Проектная работа 10 на странице 280, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
План доклада:
1. Высказывания и операции над ними.
2. Таблицы истинности.
3. Законы алгебры высказываний.
4. Высказывания и множества.
5. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
Презентация к докладу: «Алгебра высказываний», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Высказывания и операции над ними
Цель работы — изучить операции над высказываниями и их законы и сравнить их с операциями над множествами.
Высказывание — утверждение, которое либо истинно (значение 1), либо ложно (значение 0); «\(x > 3\)» становится высказыванием, только когда задано значение \(x\). Из высказываний \(A\) и \(B\) составляют отрицание \(\overline{A}\) («не \(A\)»), конъюнкцию \(A \wedge B\) («\(A\) и \(B\)»), дизъюнкцию \(A \vee B\) («\(A\) или \(B\)»), импликацию \(A \to B\) («если \(A\), то \(B\)»). Основы алгебры логики заложил Джордж Буль (1815–1864). Например, для высказываний «\(7 > 5\)» (\(A = 1\)) и «9 — простое число» (\(B = 0\)) имеем \(A \wedge B = 0\), \(A \vee B = 1\), \(\overline{B} = 1\), \(A \to B = 0\).
2. Таблицы истинности
Таблица истинности операций:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \overline{A} & A \wedge B & A \vee B & A \to B \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Импликация ложна, только когда из истины следует ложь: обещание «если пойдёт дождь, возьму зонт» нарушено, лишь если дождь пошёл, а зонта нет. Значения \(\overline{A} \vee B\) по строкам — 1, 0, 1, 1, как у \(A \to B\), поэтому \(A \to B = \overline{A} \vee B\).
3. Законы алгебры высказываний
Законы алгебры высказываний — равенства, верные при любых значениях переменных, например \(A \wedge B = B \wedge A\), \(\overline{\overline{A}} = A\). Важнейшие из них — законы де Моргана:
\(\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B},\)
\(\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}.\)
Докажем второй закон таблицей истинности:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & A \vee B & \overline{A \vee B} & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge \overline{B} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Четвёртый и седьмой столбцы совпадают, значит, закон верен.
4. Высказывания и множества
Высказывание с переменной истинно на некотором множестве её значений; союзу «и» соответствует пересечение таких множеств, «или» — объединение, «не» — дополнение (все остальные значения). Например, неравенство \(x^2 > 4\) равносильно высказыванию «\(x < -2\) или \(x > 2\)», и множество его решений — объединение \((-\infty;\ -2) \cup (2;\ +\infty)\):
По закону де Моргана отрицание этого высказывания — «\(x \geqslant -2\) и \(x \leqslant 2\)»: неравенство \(x^2 \leqslant 4\) равносильно системе, и множество его решений — пересечение \([-2;\ +\infty) \cap (-\infty;\ 2] = [-2;\ 2]\).
5. Прямая, обратная и противоположная теоремы
Теорему «если \(A\), то \(B\)» называют прямой, «если \(B\), то \(A\)» — обратной, «если не \(A\), то не \(B\)» — противоположной. Теорема «если натуральное число делится на 4, то оно чётное» верна, а обратная и противоположная неверны: число 6 чётное, но на 4 не делится. Значения \(\overline{B} \to \overline{A}\) по строкам таблицы — 1, 0, 1, 1, как у \(A \to B\). Поэтому теорема «если не \(B\), то не \(A\)» («нечётное число не делится на 4») равносильна прямой; на этом основано доказательство от противного. Если верны прямая и обратная теоремы (теорема Пифагора, теорема Виета), то условие \(A\) необходимо и достаточно для \(B\).
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что высказывания образуют алгебру: операции над ними задаются таблицами истинности, законы (например, законы де Моргана) доказываются сравнением столбцов, союзы «и», «или», «не» соответствуют пересечению, объединению и дополнению множеств, а прямая теорема равносильна теореме «если не \(B\), то не \(A\)», но не обратной.
