Дружим с компьютером § 6 на странице 283, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Промежуток изображают дугой, которая проведена над координатной прямой от одного конца промежутка до другого. Конец, который принадлежит промежутку (в записи — квадратная скобка), отмечают закрашенной точкой. Конец, который промежутку не принадлежит (круглая скобка), отмечают пустым кружком — такую точку называют «выколотой».

Порядок действий в графическом редакторе (например, Paint):
1. Инструментом «Линия» при нажатой клавише Shift провести горизонтальный отрезок — координатную прямую — и двумя короткими отрезками дорисовать на правом конце стрелку.
2. Инструментом «Текст» подписать у стрелки букву \(x\).
3. Инструментом «Кривая» провести отрезок от одного конца промежутка до другого и, потянув его за середину вверх, выгнуть в дугу над прямой.
4. Инструментом «Овал» при нажатой клавише Shift нарисовать на концах промежутка небольшие кружки поверх прямой и концов дуги: для конца, который принадлежит промежутку, — с чёрной заливкой, для «выколотого» конца — с белой заливкой (сквозь белый кружок прямая не видна, и он выглядит пустым).
5. Инструментом «Текст» подписать числа под точками. Дробь набирают двумя надписями, числитель над знаменателем, и проводят между ними короткую черту инструментом «Линия».
6. Для следующего пункта прямую заново не рисовать: выделить готовую прямую со стрелкой и буквой \(x\) инструментом «Выделение», скопировать и вставить (клавиши Ctrl+C и Ctrl+V), а затем повторить шаги 3—5.

Задание 172.

Нужно изобразить на координатной прямой промежуток: 1) \((-3;\ 4)\); 2) \([-3;\ 4]\); 3) \([-3;\ 4)\); 4) \((-3;\ 4]\).

1) Промежуток \((-3;\ 4)\): обе скобки круглые — числа \(-3\) и \(4\) промежутку не принадлежат, оба конца отмечаются пустыми кружками.

2) Промежуток \([-3;\ 4]\): обе скобки квадратные — числа \(-3\) и \(4\) промежутку принадлежат, оба конца отмечаются закрашенными точками.

3) Промежуток \([-3;\ 4)\): число \(-3\) промежутку принадлежит — закрашенная точка, число \(4\) не принадлежит — пустой кружок.

4) Промежуток \((-3;\ 4]\): число \(-3\) промежутку не принадлежит — пустой кружок, число \(4\) принадлежит — закрашенная точка.

Задание 173.

Нужно изобразить на координатной прямой и записать промежуток, который задаётся неравенством: 1) \(0 < x < 5\); 2) \(\frac{1}{6} < x \leqslant 2\frac{1}{7}\); 3) \(0{,}2 \leqslant x < 102\); 4) \(-2{,}4 \leqslant x \leqslant -1\).

Если знак неравенства строгий (\(<\)), то соответствующий конец промежутку не принадлежит: в записи ставят круглую скобку, на прямой — пустой кружок. Если знак нестрогий (\(\leqslant\)), то конец промежутку принадлежит: в записи ставят квадратную скобку, на прямой — закрашенную точку.

1) В неравенстве \(0 < x < 5\) оба знака строгие, поэтому числа 0 и 5 промежутку не принадлежат. Промежуток — \((0;\ 5)\).

2) В неравенстве \(\frac{1}{6} < x \leqslant 2\frac{1}{7}\) левый знак строгий, а правый нестрогий: число \(\frac{1}{6}\) промежутку не принадлежит, а число \(2\frac{1}{7}\) принадлежит. Промежуток — \(\left(\frac{1}{6};\ 2\frac{1}{7}\right]\).

3) В неравенстве \(0{,}2 \leqslant x < 102\) левый знак нестрогий, а правый строгий: число \(0{,}2\) промежутку принадлежит, а число 102 не принадлежит. Промежуток — \([0{,}2;\ 102)\).

4) В неравенстве \(-2{,}4 \leqslant x \leqslant -1\) оба знака нестрогие, поэтому числа \(-2{,}4\) и \(-1\) промежутку принадлежат. Промежуток — \([-2{,}4;\ -1]\).

Ответ: 173: 1) \((0;\ 5)\); 2) \(\left(\frac{1}{6};\ 2\frac{1}{7}\right]\); 3) \([0{,}2;\ 102)\); 4) \([-2{,}4;\ -1]\).

В задаче 202 одна сторона треугольника равна 4 см, а сумма двух других сторон равна 8 см. Нужно найти две другие стороны, если длина каждой из них равна целому числу сантиметров.

Обозначим длину известной стороны \(a\), а длины двух других сторон \(b\) и \(c\). Треугольник со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) существует, если каждая сторона меньше суммы двух других: \(a < b + c\), \(b < a + c\), \(c < a + b\).
Сумму двух неизвестных сторон обозначим \(s\), тогда \(c = s - b\). Длины \(b\) и \(c\) — целые положительные числа, поэтому \(b \geqslant 1\) и \(s - b \geqslant 1\), то есть \(1 \leqslant b \leqslant s - 1\). Метод перебора: для каждого целого \(b\) от 1 до \(s - 1\) находят \(c = s - b\) и проверяют неравенства треугольника.

Входные данные: \(a\) — длина известной стороны, \(a > 0\); \(s\) — сумма длин двух других сторон, натуральное число, \(s \geqslant 2\) (в задаче \(a = 4\) см, \(s = 8\) см).
Выходные данные: все пары целых чисел \(b\), \(c\) — длины двух других сторон, при которых треугольник существует.

Алгоритм:
1. Ввести \(a\) и \(s\).
2. Если \(a > 0\), \(s \geqslant 2\) и \(s\) — натуральное число, то выполнить шаги 3—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Для каждого целого \(b\) от 1 до \(s - 1\) выполнить шаги 4—5.
4. Вычислить \(c = s - b\).
5. Если \(a < b + c\), \(b < a + c\) и \(c < a + b\), то вывести пару \(b\), \(c\), иначе перейти к следующему значению \(b\).

При \(a = 4\) и \(s = 8\) данные допустимы, а неравенство \(a < b + c\) имеет вид \(4 < 8\) и верно при любом \(b\), поэтому при переборе проверяются два других неравенства:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline b & c = 8 - b & b < 4 + c & c < 4 + b \\ \hline 1 & 7 & 1 < 11,\ \text{да} & 7 > 5,\ \text{нет} \\ \hline 2 & 6 & 2 < 10,\ \text{да} & 6 = 6,\ \text{нет} \\ \hline 3 & 5 & 3 < 9,\ \text{да} & 5 < 7,\ \text{да} \\ \hline 4 & 4 & 4 < 8,\ \text{да} & 4 < 8,\ \text{да} \\ \hline 5 & 3 & 5 < 7,\ \text{да} & 3 < 9,\ \text{да} \\ \hline 6 & 2 & 6 = 6,\ \text{нет} & 2 < 10,\ \text{да} \\ \hline 7 & 1 & 7 > 5,\ \text{нет} & 1 < 11,\ \text{да} \\ \hline \end{array}\]

Оба неравенства верны при \(b = 3\), \(b = 4\) и \(b = 5\), то есть для пар сторон 3 см и 5 см, 4 см и 4 см, 5 см и 3 см. Первая и последняя пары задают один и тот же треугольник.

Ответ: неизвестные стороны треугольника равны 3 см и 5 см или 4 см и 4 см.

Все три задачи связывают одни и те же величины: массу смеси \(a\) (раствора или руды), массу \(b\) содержащегося в ней вещества (соли или олова) и процентное содержание \(p\) этого вещества — сколько процентов массы смеси составляет масса вещества. Массы \(a\) и \(b\) выражаются в одних и тех же единицах. Поэтому у всех трёх задач одна математическая модель — зависимость \(b = \frac{a \cdot p}{100}\). Задачи различаются тем, какая из трёх величин неизвестна: в каждой задаче эту зависимость решают относительно неизвестной величины.

Задача 223.

Нужно найти, сколько килограммов соли содержится в 40 кг 9-процентного раствора.

Задача в общем виде: сколько килограммов соли содержится в \(a\) кг раствора, если процентное содержание соли в нём равно \(p\) %? Это задача на нахождение процентов от числа.
Математическая модель: 1 % массы раствора равен \(\frac{a}{100}\), а \(p\) % — это \(b = \frac{a}{100} \cdot p = \frac{a \cdot p}{100}\).

Входные данные: \(a\) — масса раствора, \(a > 0\); \(p\) — процентное содержание соли, \(0 < p < 100\).
Выходные данные: \(b\) — масса соли.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a\) и \(p\).
2. Если \(a > 0\) и \(0 < p < 100\), то вычислить \(b = \frac{a \cdot p}{100}\) и вывести \(b\), иначе вывести сообщение «неверные данные».

Для чисел задачи: \(b = \frac{40 \cdot 9}{100} = 3{,}6\) (кг) — масса соли.

Задача 224.

Руда содержит 8 % олова; нужно найти, сколько килограммов руды надо взять, чтобы получить 72 кг олова.

Задача в общем виде: руда содержит \(p\) % олова; сколько килограммов руды надо взять, чтобы получить \(b\) кг олова? Это задача на нахождение числа по его процентам.
Математическая модель: \(p\) % массы руды составляют \(b\) кг, поэтому 1 % массы руды равен \(\frac{b}{p}\), а вся масса руды, то есть 100 %, — это \(a = \frac{b}{p} \cdot 100 = \frac{100 \cdot b}{p}\).

Входные данные: \(p\) — процентное содержание олова, \(0 < p < 100\); \(b\) — масса олова, \(b > 0\).
Выходные данные: \(a\) — масса руды.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(p\) и \(b\).
2. Если \(0 < p < 100\) и \(b > 0\), то вычислить \(a = \frac{100 \cdot b}{p}\) и вывести \(a\), иначе вывести сообщение «неверные данные».

Для чисел задачи: \(a = \frac{100 \cdot 72}{8} = 900\) (кг) — масса руды.

Задача 225.

Нужно найти процентное содержание соли в растворе, если в 350 г раствора содержится 21 г соли.

Задача в общем виде: каково процентное содержание соли в растворе, если в \(a\) г раствора содержится \(b\) г соли? Это задача на нахождение процентного отношения двух чисел.
Математическая модель: масса соли составляет \(\frac{b}{a}\) массы раствора, а в процентах — \(p = \frac{b}{a} \cdot 100\).

Входные данные: \(a\) — масса раствора, \(a > 0\); \(b\) — масса соли, \(0 < b < a\).
Выходные данные: \(p\) — процентное содержание соли, %.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a\) и \(b\).
2. Если \(a > 0\) и \(0 < b < a\), то вычислить \(p = \frac{b}{a} \cdot 100\) и вывести \(p\), иначе вывести сообщение «неверные данные».

Для чисел задачи: \(p = \frac{21}{350} \cdot 100 = 6\) (%) — процентное содержание соли.

Ответ: 223: \(b = \frac{a \cdot p}{100}\), в 40 кг раствора содержится \(3{,}6\) кг соли; 224: \(a = \frac{100 \cdot b}{p}\), руды надо взять 900 кг; 225: \(p = \frac{b}{a} \cdot 100\), процентное содержание соли — 6 %.