Проектная работа 5 на странице 278, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

План доклада:
1. Метод разности.
2. Неравенство Коши и почленное умножение неравенств.
3. Рассуждения «от противного».
4. Неравенство Коши — Буняковского.
5. Метод математической индукции.

Презентация к докладу: «Эффективные методы доказательства неравенств», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Метод разности. Цель работы — изучить и сравнить основные методы доказательства неравенств. Число \(a\) больше числа \(b\), если разность \(a - b\) положительна, поэтому неравенство доказывают, оценивая разность его частей. Пример: докажем, что \(a^3 + b^3 \geqslant a^2b + ab^2\) при \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\). Имеем:

\(\begin{aligned} &a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = {} \\ &= (a - b)(a^2 - b^2) = (a - b)^2(a + b) \geqslant 0. \end{aligned}\)

Оба множителя неотрицательны; равенство — только при \(a = b\).

2. Неравенство Коши и почленное умножение неравенств. При \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\) верно неравенство Коши \(\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}\): среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Верные неравенства одного знака с положительными частями можно почленно перемножать. Пример: при положительных \(a\), \(b\), \(c\) перемножим неравенства \(a + b \geqslant 2\sqrt{ab}\), \(b + c \geqslant 2\sqrt{bc}\), \(c + a \geqslant 2\sqrt{ca}\) и получим \((a + b)(b + c)(c + a) \geqslant 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc\).

3. Рассуждения «от противного». Предполагают, что доказываемое неверно, и приходят к противоречию. Пример: числа \(a\), \(b\), \(c\) больше 0 и меньше 1; докажем, что неравенства \(a(1 - b) > \frac{1}{4}\), \(b(1 - c) > \frac{1}{4}\), \(c(1 - a) > \frac{1}{4}\) не могут быть верны одновременно. Пусть все три верны; перемножив их почленно (части положительны), получим \(a(1 - a) \cdot b(1 - b) \cdot c(1 - c) > \frac{1}{64}\). Но \(a(1 - a) = \frac{1}{4} - \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 \leqslant \frac{1}{4}\), так же \(b(1 - b) \leqslant \frac{1}{4}\) и \(c(1 - c) \leqslant \frac{1}{4}\), поэтому произведение не больше \(\frac{1}{64}\) — противоречие.

4. Неравенство Коши — Буняковского. Для любых чисел \(a_1, \ldots, a_n\) и \(b_1, \ldots, b_n\) верно неравенство

\((a_1b_1 + \ldots + a_nb_n)^2 \leqslant (a_1^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + \ldots + b_n^2).\)

Обозначим \(A = a_1^2 + \ldots + a_n^2\), \(B = a_1b_1 + \ldots + a_nb_n\), \(C = b_1^2 + \ldots + b_n^2\). При \(A = 0\) все \(a_1, \ldots, a_n\) равны нулю и неравенство верно. Если \(A > 0\), то квадратный трёхчлен \(At^2 - 2Bt + C = (a_1t - b_1)^2 + \ldots + (a_nt - b_n)^2\) неотрицателен при всех \(t\), поэтому его дискриминант неположителен (иначе трёхчлен был бы отрицателен между корнями): \(4B^2 - 4AC \leqslant 0\), то есть \(B^2 \leqslant AC\). Пример: если \(x^2 + y^2 = 1\), то \((3x + 4y)^2 \leqslant (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 25\), поэтому \(3x + 4y \leqslant 5\), а при \(x = 0{,}6\), \(y = 0{,}8\) достигается равенство: \(3 \cdot 0{,}6 + 4 \cdot 0{,}8 = 5\).

5. Метод математической индукции. Утверждение для всех натуральных \(n\) проверяют при \(n = 1\) (база индукции) и доказывают, что из его справедливости при \(n = k\) следует справедливость при \(n = k + 1\) (шаг индукции). Пример — неравенство Бернулли: \((1 + x)^n \geqslant 1 + nx\) при \(x \geqslant -1\) и любом натуральном \(n\). При \(n = 1\) получаем верное равенство \(1 + x = 1 + x\). Пусть неравенство верно при \(n = k\); умножим обе его части на неотрицательное число \(1 + x\):

\((1 + x)^k \geqslant 1 + kx; \qquad | \cdot (1 + x)\)
\(\begin{aligned} &(1 + x)^{k + 1} \geqslant (1 + kx)(1 + x) = {} \\ &= 1 + (k + 1)x + kx^2 \geqslant 1 + (k + 1)x. \end{aligned}\)

Например, \(1{,}01^{100} \geqslant 1 + 100 \cdot 0{,}01 = 2\).

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что универсального метода нет, но каждый из приёмов — оценка разности частей, почленное умножение и неравенство Коши, рассуждение от противного, дискриминант квадратного трёхчлена, математическая индукция — решает свой круг задач.