Проектная работа 7 на страницах 278-279, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

План доклада:
1. Геометрическое определение вероятности.
2. Точка в круге и опытное нахождение числа \(\pi\).
3. Монета на клетчатом полу.
4. Задача о встрече.
5. Игла Бюффона.

Презентация к докладу: «Геометрическая вероятность», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Геометрическое определение вероятности

Цель работы — изучить, как находят вероятность, когда равновозможных результатов испытания бесконечно много.

Формула \(P(A) = \frac{m}{n}\) годится только для конечного числа равновозможных результатов. Если же точку бросают наугад на отрезок или в плоскую фигуру, результатов бесконечно много. «Наугад» означает, что вероятность попасть в часть фигуры пропорциональна мере этой части (длине, площади) и не зависит от её положения. Тогда

\(P(A) = \dfrac{\text{мера благоприятной области}}{\text{мера всей области}}.\)

Например, автобус ходит каждые 15 мин, а пассажир приходит на остановку в случайный момент. Момент прихода — точка отрезка длиной 15 мин между двумя автобусами. Ждать не больше 5 мин пассажир будет, если придёт в последние 5 мин этого отрезка: \(P = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

2. Точка в круге и опытное нахождение числа \(\pi\)

В квадрат со стороной \(2r\) вписан круг радиуса \(r\). Вероятность того, что брошенная наугад в квадрат точка попадёт в круг, равна \(\frac{\pi r^2}{4r^2} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\). Её можно оценить частотой: если из \(N\) случайных точек в круг попали \(M\), то \(\frac{M}{N} \approx \frac{\pi}{4}\), откуда \(\pi \approx \frac{4M}{N}\). Например, если из 1000 точек в круг попали 786, то \(\pi \approx \frac{4 \cdot 786}{1000} = 3{,}144\). Чем больше точек, тем точнее оценка; такой способ вычислений называют методом Монте-Карло.

3. Монета на клетчатом полу

Монету радиуса \(r = 1\) см бросают на пол, расчерченный на квадраты со стороной 5 см. Найдём вероятность того, что монета не заденет линий. Все клетки одинаковы, поэтому достаточно рассмотреть одну. Монета не заденет линий, если её центр удалён от каждой стороны клетки больше чем на \(r\), т. е. попадёт во внутренний квадрат со стороной \(5 - 2 \cdot 1 = 3\) (см). Отношение площадей

\(P = \dfrac{3^2}{5^2} = \dfrac{9}{25} = 0{,}36.\)

4. Задача о встрече

Двое договорились встретиться между 12 и 13 ч; пришедший первым ждёт другого 20 мин и уходит. Пусть \(x\) и \(y\) — моменты прихода (в минутах после 12 ч). Все результаты — точки квадрата \(0 \leqslant x \leqslant 60\), \(0 \leqslant y \leqslant 60\) площадью \(60^2 = 3600\). Встреча состоится, если \(|x - y| \leqslant 20\), т. е. \(x - 20 \leqslant y \leqslant x + 20\): это полоса между прямыми \(y = x - 20\) и \(y = x + 20\). Вне полосы — два прямоугольных треугольника с катетами 40, их общая площадь \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 40 = 1600\). Площадь полосы \(3600 - 1600 = 2000\), поэтому

\(P = \dfrac{2000}{3600} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}56.\)

5. Игла Бюффона

Жорж Бюффон (1707–1788) рассмотрел такую задачу: на пол, расчерченный параллельными прямыми на расстоянии \(a\) друг от друга, бросают иглу длиной \(l \leqslant a\). Вероятность того, что игла пересечёт прямую, равна \(\frac{2l}{\pi a}\); эту формулу выводят методами высшей математики. При \(l = \frac{a}{2}\) вероятность равна \(\frac{2 \cdot \frac{a}{2}}{\pi a} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}32\). Значит, частота пересечений даёт ещё один опытный способ найти число \(\pi\): оно приближённо равно отношению числа бросаний к числу пересечений. Например, если при 1000 бросаниях игла пересекла прямую 318 раз, то \(\pi \approx \frac{1000}{318} \approx 3{,}14\).

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что геометрическая вероятность — отношение мер благоприятной области и всей области. С её помощью рассмотрены задачи об автобусе (\(\frac{1}{3}\)), о монете (\(0{,}36\)), о встрече (\(\frac{5}{9}\)) и об игле Бюффона (\(\frac{2l}{\pi a}\)), а частота попаданий случайных точек в круг или пересечений иглы с прямыми позволяет приближённо найти число \(\pi\).