Дружим с компьютером § 17 на странице 285, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Правила комбинаторики удобно показывать в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc): каждый способ выбора записывают в отдельную ячейку, и число способов равно числу заполненных ячеек. Это число находит функция СЧЁТЗ — она считает непустые ячейки диапазона.

Правило суммы. Если множество \(A\) состоит из \(m\) элементов, множество \(B\) — из \(k\) элементов и общих элементов у них нет, то выбрать элемент множества \(A\) или элемент множества \(B\) можно \(m + k\) способами. Это правило иллюстрирует один столбец, в который подряд выписаны элементы обоих множеств: каждая заполненная ячейка — один способ выбора, ни один способ не записан дважды, поэтому способов столько же, сколько заполненных ячеек, то есть \(m + k\). Порядок действий:
1. В ячейки A2, A3, … выписать по одному элементы множества \(A\) и залить эти ячейки одним цветом.
2. Сразу под ними в том же столбце выписать элементы множества \(B\) и залить их другим цветом.
3. В ячейку C1 ввести формулу =СЧЁТЗ(A2:A100) — получится \(m + k\): в столбце \(m\) ячеек одного цвета и \(k\) ячеек другого.

Правило произведения. Если элемент \(a\) можно выбрать \(m\) способами и после каждого такого выбора элемент \(b\) можно выбрать \(k\) способами, то выбор «\(a\) и \(b\)» в указанном порядке можно осуществить \(mk\) способами. Это правило иллюстрирует таблица пар: варианты выбора \(a\) записаны в первом столбце, варианты выбора \(b\) — в первой строке, а в ячейке на пересечении строки и столбца — пара из этих вариантов. В таблице \(m\) строк по \(k\) ячеек, каждая ячейка — один способ выбора, поэтому способов \(m \cdot k\). Порядок действий:
1. В ячейки A2, A3, … выписать варианты выбора \(a\), в ячейки B1, C1, … — варианты выбора \(b\).
2. В ячейку B2 ввести формулу ="("&$A2&"; "&B$1&")"; знак $ закрепляет столбец A и строку 1, поэтому в каждой ячейке пара составляется из варианта своей строки и варианта своего столбца.
3. Маркером заполнения протянуть формулу из B2 вправо и вниз на всю таблицу.
4. В свободную ячейку ввести формулу =СЧЁТЗ(…) с диапазоном таблицы пар — получится \(m \cdot k\).

Задача 576.

Нужно найти, сколькими способами можно проехать из города \(A\) в город \(C\), если из \(A\) в город \(B\) ведут 4 дороги, а из \(B\) в \(C\) — 3 дороги.

Путь из \(A\) в \(C\) — это выбор дороги из \(A\) в \(B\) и затем дороги из \(B\) в \(C\), поэтому здесь работает правило произведения. Номера дорог из \(A\) в \(B\) (1, 2, 3, 4) записать в ячейки A2:A5, номера дорог из \(B\) в \(C\) (1, 2, 3) — в ячейки B1:D1, формулу пары из B2 протянуть до D5. Получится таблица (в строке — дорога из \(A\) в \(B\), в столбце — дорога из \(B\) в \(C\)):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & (1;\ 1) & (1;\ 2) & (1;\ 3) \\ \hline 2 & (2;\ 1) & (2;\ 2) & (2;\ 3) \\ \hline 3 & (3;\ 1) & (3;\ 2) & (3;\ 3) \\ \hline 4 & (4;\ 1) & (4;\ 2) & (4;\ 3) \\ \hline \end{array}\]

Например, пара \((2;\ 3)\) — путь по дороге 2 из \(A\) в \(B\) и по дороге 3 из \(B\) в \(C\). В таблице 4 строки по 3 ячейки, и формула =СЧЁТЗ(B2:D5) даёт 12: проехать из \(A\) в \(C\) можно \(4 \cdot 3 = 12\) способами.

Задача 580.

Нужно найти, сколькими способами можно проехать из города \(A\) в город \(B\), если путь идёт либо через город \(M\) (из \(A\) в \(M\) ведут 3 дороги, из \(M\) в \(B\) — 2 дороги), либо через город \(N\) (из \(A\) в \(N\) ведут 4 дороги, из \(N\) в \(B\) — 3 дороги), а других дорог нет.

Здесь работают оба правила. Пути через \(M\) — пары (дорога из \(A\) в \(M\); дорога из \(M\) в \(B\)): номера 1, 2, 3 записать в ячейки A2:A4, номера 1, 2 — в ячейки B1:C1, формулу пары из B2 протянуть до C4. Пути через \(N\) — такая же таблица под первой: номера 1, 2, 3, 4 — в ячейки A7:A10, номера 1, 2, 3 — в ячейки B6:D6, в ячейку B7 — формулу ="("&$A7&"; "&B$6&")", протянуть её до D10. Ячейки двух таблиц залить разными цветами.

Пути через город \(M\) (в строке — дорога из \(A\) в \(M\), в столбце — дорога из \(M\) в \(B\)):

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 2 \\ \hline 1 & (1;\ 1) & (1;\ 2) \\ \hline 2 & (2;\ 1) & (2;\ 2) \\ \hline 3 & (3;\ 1) & (3;\ 2) \\ \hline \end{array}\]

Пути через город \(N\) (в строке — дорога из \(A\) в \(N\), в столбце — дорога из \(N\) в \(B\)):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & (1;\ 1) & (1;\ 2) & (1;\ 3) \\ \hline 2 & (2;\ 1) & (2;\ 2) & (2;\ 3) \\ \hline 3 & (3;\ 1) & (3;\ 2) & (3;\ 3) \\ \hline 4 & (4;\ 1) & (4;\ 2) & (4;\ 3) \\ \hline \end{array}\]

По правилу произведения в первой таблице \(3 \cdot 2 = 6\) путей, во второй — \(4 \cdot 3 = 12\) путей. Путь через \(M\) не может совпасть с путём через \(N\), поэтому по правилу суммы всего путей \(6 + 12 = 18\); формула =СЧЁТЗ(B2:C4)+СЧЁТЗ(B7:D10) тоже даёт 18.

Задача 582.

Нужно найти, сколькими способами альпинист может подняться на гору и спуститься с неё, если на вершину ведут 5 маршрутов, и сколькими способами — если подъём и спуск должны проходить по разным маршрутам.

Номера маршрутов подъёма (1–5) записать в ячейки A2:A6, номера маршрутов спуска (1–5) — в ячейки B1:F1, формулу пары из B2 протянуть до F6. Таблица состоит из 5 строк по 5 ячеек, формула =СЧЁТЗ(B2:F6) даёт 25: по правилу произведения подняться и спуститься можно \(5 \cdot 5 = 25\) способами.

Если маршруты подъёма и спуска должны быть разными, то не подходят пары с одинаковыми номерами — они стоят на диагонали таблицы. В ячейку B2 вместо прежней формулы ввести формулу =ЕСЛИ($A2=B$1;"—";"("&$A2&"; "&B$1&")"): если номера маршрутов совпадают, она ставит прочерк. Если протянуть эту формулу до F6, таблица будет такой (в строке — маршрут подъёма, в столбце — маршрут спуска):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & \text{—} & (1;\ 2) & (1;\ 3) & (1;\ 4) & (1;\ 5) \\ \hline 2 & (2;\ 1) & \text{—} & (2;\ 3) & (2;\ 4) & (2;\ 5) \\ \hline 3 & (3;\ 1) & (3;\ 2) & \text{—} & (3;\ 4) & (3;\ 5) \\ \hline 4 & (4;\ 1) & (4;\ 2) & (4;\ 3) & \text{—} & (4;\ 5) \\ \hline 5 & (5;\ 1) & (5;\ 2) & (5;\ 3) & (5;\ 4) & \text{—} \\ \hline \end{array}\]

В каждой строке осталось 4 пары: после выбора маршрута подъёма для спуска остаются 4 маршрута. По правилу произведения способов \(5 \cdot 4 = 20\); формула =СЧЁТЗ(B2:F6)-СЧЁТЕСЛИ(B2:F6;"—") даёт \(25 - 5 = 20\).

Ответ: 576: \(4 \cdot 3 = 12\) способов; 580: \(3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 18\) способов; 582: \(5 \cdot 5 = 25\) способов, а если подъём и спуск проходят по разным маршрутам, — \(5 \cdot 4 = 20\) способов.