Дружим с компьютером § 14 на странице 285, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Опишем каждую из задач 483—512 в общем виде: заменим числа условия буквами (значения букв в задаче указаны в скобках) и составим математическую модель. Если после такой замены модели двух задач совпадают и различаются только значениями букв, то у этих задач одинаковые математические модели и один алгоритм решения. Входные данные алгоритма — буквы модели, выходные данные — искомые величины.

Задачи 516—521 тоже прикладные, а номера 513—515 — нет: в них нужно доказать, что значение выражения не зависит от значений переменных, решить неравенства и расположить числа в порядке возрастания. Эти задачи сразу записаны на языке математики, и модель для них составлять не нужно.

В задачах о движении по реке скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения, а скорость против течения — их разности. Поэтому если скорость по течению равна \(x\) км/ч, а скорость против течения — \(y\) км/ч, то собственная скорость равна \(\frac{x + y}{2}\) км/ч, а скорость течения — \(\frac{x - y}{2}\) км/ч. С такой же скоростью, как течение, плывёт плот.

Задачи 483, 484, 489.

Задача в общем виде:

483. Расстояние между сёлами равно \(s\) км. Из одного села выехал велосипедист, а через \(t\) ч навстречу ему из другого села выехал второй велосипедист, скорость которого на \(d\) км/ч больше. Они встретились на середине пути. Найти скорость каждого велосипедиста (\(s = 36\), \(t = 0{,}5\), \(d = 6\)).

484. Масса куска одного металла равна \(m_1\) г, другого — \(m_2\) г. Объём первого куска на \(V\) см³ меньше объёма второго, а плотность первого металла на \(d\) г/см³ больше плотности второго. Найти плотность каждого металла (\(m_1 = 336\), \(m_2 = 320\), \(V = 10\), \(d = 2\)).

489. Два автомобиля одновременно выехали из одного пункта в одном направлении со скоростями \(v_1\) км/ч и \(v_2\) км/ч, \(v_1 > v_2\). Через \(t_0\) ч из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал первый на \(t\) ч позже, чем второй. Найти скорость третьего автомобиля (\(v_1 = 50\), \(v_2 = 40\), \(t_0 = 0{,}5\), \(t = 1{,}5\)).

Математическая модель:

В задаче 483 обозначим скорость первого велосипедиста \(x\) км/ч, тогда скорость второго равна \((x + d)\) км/ч. До встречи каждый проехал \(\frac{s}{2}\) км: первый — за \(\frac{s}{2x}\) ч, второй — за \(\frac{s}{2(x + d)}\) ч, причём первый был в пути на \(t\) ч дольше. Модель — уравнение \(\frac{s}{2x} - \frac{s}{2(x + d)} = t\).

В задаче 484 обозначим плотность второго металла \(x\) г/см³, тогда плотность первого равна \((x + d)\) г/см³, а объёмы кусков — \(\frac{m_2}{x}\) см³ и \(\frac{m_1}{x + d}\) см³. Модель — уравнение \(\frac{m_2}{x} - \frac{m_1}{x + d} = V\).

В задаче 489 обозначим скорость третьего автомобиля \(x\) км/ч. Когда он выехал, первый автомобиль был впереди на \(v_1 t_0\) км, а второй — на \(v_2 t_0\) км. Третий автомобиль догоняет первый за \(\frac{v_1 t_0}{x - v_1}\) ч, а второй — за \(\frac{v_2 t_0}{x - v_2}\) ч. Модель — уравнение \(\frac{v_1 t_0}{x - v_1} - \frac{v_2 t_0}{x - v_2} = t\).

Все три уравнения имеют вид \(\frac{a}{x + k} - \frac{b}{x + n} = h\), где по смыслу задачи \(x + k > 0\) и \(x + n > 0\). Числа этой модели в задаче 483: \(a = b = \frac{s}{2}\), \(k = 0\), \(n = d\), \(h = t\). В задаче 484: \(a = m_2\), \(b = m_1\), \(k = 0\), \(n = d\), \(h = V\). В задаче 489: \(a = v_1 t_0\), \(b = v_2 t_0\), \(k = -v_1\), \(n = -v_2\), \(h = t\). Значит, задачи 483, 484, 489 имеют одинаковые математические модели.

Входные данные: \(a\), \(b\), \(k\), \(n\), \(h\) — числа уравнения, \(a > 0\), \(b > 0\), \(h > 0\).
Выходные данные: корни уравнения, для которых \(x + k > 0\) и \(x + n > 0\). По найденному \(x\) получают ответ задачи: в задачах 483 и 484 — числа \(x\) и \(x + d\), в задаче 489 — число \(x\).

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a\), \(b\), \(k\), \(n\), \(h\).
2. Если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(h > 0\), то выполнить шаги 3—6, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить \(A = h\), \(B = h(k + n) - a + b\), \(C = hkn - an + bk\) — коэффициенты квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\). Оно получается, если обе части уравнения модели умножить на \((x + k)(x + n)\) и перенести все члены в одну часть.
4. Вычислить дискриминант \(D = B^2 - 4AC\). Если \(D < 0\), то вывести сообщение «решений нет» и закончить работу.
5. Вычислить корни \(x_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A}\) и \(x_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}\).
6. Для каждого корня проверить условия \(x + k > 0\) и \(x + n > 0\): если они выполнены, вывести корень, иначе отбросить его. Если не выведено ни одного корня, вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи 483: \(a = b = \frac{36}{2} = 18\), \(k = 0\), \(n = 6\), \(h = 0{,}5\), данные допустимы.

\(A = 0{,}5\), \(B = 0{,}5 \cdot 6 - 18 + 18 = 3\), \(C = 0 - 18 \cdot 6 + 0 = -108\).
\(D = 3^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot (-108) = 9 + 216 = 225\), \(\sqrt{D} = 15\).
\(x_1 = \frac{-3 - 15}{2 \cdot 0{,}5} = -18\), \(x_2 = \frac{-3 + 15}{2 \cdot 0{,}5} = 12\).

Корень \(-18\) отбрасываем, так как \(-18 + 0 < 0\). Корень 12 подходит: \(12 + 0 > 0\) и \(12 + 6 > 0\).

Скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч, второго — \(12 + 6 = 18\) (км/ч).

Задачи 485, 486, 494, 495.

Задача в общем виде:

485. Теплоход прошёл \(s_1\) км по течению реки и \(s_2\) км против течения за \(t\) ч. За то же время он мог пройти \(s_3\) км по течению и \(s_4\) км против течения. Найти собственную скорость теплохода (\(s_1 = 100\), \(s_2 = 64\), \(t = 9\), \(s_3 = s_4 = 80\)).

486. Катер проходит \(s_1\) км против течения реки и \(s_2\) км по течению за \(t_1\) ч, а \(s_3\) км по течению — на \(t_2\) ч быстрее, чем \(s_4\) км против течения. Найти собственную скорость катера и скорость течения (\(s_1 = 48\), \(s_2 = 30\), \(t_1 = 3\), \(s_3 = 15\), \(s_4 = 36\), \(t_2 = 1\)).

494. Через две трубы, открытые одновременно, бассейн наполняется за \(T\) ч. Если сначала наполнять его \(t_1\) ч только через первую трубу, а затем \(t_2\) ч только через вторую, то наполнится часть бассейна, равная \(q\). Найти, за сколько часов наполняется бассейн через каждую трубу отдельно (\(T = 12\), \(t_1 = 5\), \(t_2 = 9\), \(q = \frac{1}{2}\)).

495. Два тракториста, работая вместе, вспахивают поле за \(T\) ч. Если первый тракторист проработает \(t_1\) ч, а затем его сменит второй, то второй закончит вспашку за \(t_2\) ч. Найти, за какое время вспашет поле каждый тракторист, работая самостоятельно (\(T = 6\), \(t_1 = 4\), \(t_2 = 9\)).

Математическая модель:

В задачах 485 и 486 обозначим скорость по течению \(x\) км/ч, а скорость против течения — \(y\) км/ч. Время движения равно пути, делённому на скорость. Модель задачи 485:

\(\begin{cases} \frac{s_1}{x} + \frac{s_2}{y} = t, \\ \frac{s_3}{x} + \frac{s_4}{y} = t. \end{cases}\)

Модель задачи 486:

\(\begin{cases} \frac{s_2}{x} + \frac{s_1}{y} = t_1, \\ -\frac{s_3}{x} + \frac{s_4}{y} = t_2. \end{cases}\)

В задачах 494 и 495 обозначим через \(x\) ч и \(y\) ч время, за которое всю работу выполняет каждая труба (каждый тракторист) в отдельности. Тогда за 1 ч первый из них выполняет \(\frac{1}{x}\) часть работы, а второй — \(\frac{1}{y}\) часть. Модель задачи 494:

\(\begin{cases} \frac{T}{x} + \frac{T}{y} = 1, \\ \frac{t_1}{x} + \frac{t_2}{y} = q. \end{cases}\)

Модель задачи 495 — та же система при \(q = 1\).

Все четыре модели — системы одного вида:

\(\begin{cases} \frac{a_1}{x} + \frac{b_1}{y} = c_1, \\ \frac{a_2}{x} + \frac{b_2}{y} = c_2. \end{cases}\)

Здесь \(x > 0\), \(y > 0\), а в задачах о реке ещё и \(x > y\). Заменой \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\) система сводится к системе линейных уравнений, которую решают способом сложения:

\(\begin{cases} a_1 u + b_1 v = c_1, & | \cdot b_2 \\ a_2 u + b_2 v = c_2; & | \cdot b_1 \end{cases}\)

Вычтя из первого уравнения второе, получим \((a_1 b_2 - a_2 b_1)u = c_1 b_2 - c_2 b_1\). Аналогично находят \(v\): \((a_1 b_2 - a_2 b_1)v = a_1 c_2 - a_2 c_1\). Если \(a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0\), то система имеет единственное решение.

Входные данные: \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\), \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\) — числа системы.
Выходные данные: \(x\) и \(y\), а в задачах о реке — ещё собственная скорость и скорость течения.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\), \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\).
2. Вычислить \(m = a_1 b_2 - a_2 b_1\). Если \(m = 0\), то вывести сообщение «нет единственного решения» и закончить работу.
3. Вычислить \(u = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{m}\) и \(v = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{m}\).
4. Если \(u > 0\) и \(v > 0\), то вычислить и вывести \(x = \frac{1}{u}\) и \(y = \frac{1}{v}\), иначе вывести сообщение «решений нет» и закончить работу.
5. В задаче о реке: если \(x > y\), то вычислить и вывести \(\frac{x + y}{2}\) и \(\frac{x - y}{2}\), иначе вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи 494: \(a_1 = b_1 = 12\), \(c_1 = 1\), \(a_2 = 5\), \(b_2 = 9\), \(c_2 = \frac{1}{2}\).

\(m = 12 \cdot 9 - 5 \cdot 12 = 108 - 60 = 48\).
\(u = \frac{1 \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 12}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}\), \(v = \frac{12 \cdot \frac{1}{2} - 5 \cdot 1}{48} = \frac{1}{48}\).
\(u > 0\) и \(v > 0\), поэтому \(x = 16\), \(y = 48\).

Через первую трубу бассейн наполняется за 16 ч, через вторую — за 48 ч.

Задачи 487, 488, 490, 491, 492, 493, 502.

Задача в общем виде:

487. Из двух городов, расстояние между которыми равно \(s\) км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через \(t\) ч они встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Один из них прибыл в конечный пункт на \(t_0\) ч раньше другого. Найти скорость каждого мотоциклиста (\(s = 140\), \(t = 1\), \(t_0 = \frac{35}{60} = \frac{7}{12}\)).

488. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно \(s\) км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Автобус прибыл на \(t_0\) ч позже автомобиля, а за \(k\) ч он проезжает на \(d\) км больше, чем автомобиль за 1 ч. Найти скорости автомобиля и автобуса (\(s = 240\), \(t_0 = 1\), \(k = 2\), \(d = 40\)).

490. Расстояние между двумя станциями равно \(s\) км. От первой станции ко второй отправился скорый поезд, а через \(t_1\) ч от второй станции навстречу ему отправился товарный поезд, который встретился со скорым через \(t_2\) ч после своего выхода. Скорый поезд проходит весь путь на \(t_0\) ч быстрее товарного. Найти скорость каждого поезда (\(s = 450\), \(t_1 = t_2 = 3\), \(t_0 = 7\frac{30}{60} = 7{,}5\)).

491, 492. Лодка проплыла по реке \(s\) км и вернулась обратно, затратив на весь путь \(t\) ч. За одно и то же время она проплывает \(l_1\) км по течению и \(l_2\) км против течения. Найти скорость течения. Числа задачи 491: \(s = 16\), \(t = 6\), \(l_1 = 2\), \(l_2 = 1\). Числа задачи 492: \(s = 5\), \(t = 5\), \(l_1 = 3\), \(l_2 = 2\).

493. Две бригады, работая вместе, выполняют задание за \(T\) дней. Если первая бригада, работая одна, выполнит \(\frac{1}{k}\) задания, а затем её сменит вторая, то всё задание будет выполнено за \(t\) дней. Найти, за сколько дней каждая бригада может выполнить задание, работая самостоятельно (\(T = 8\), \(k = 3\), \(t = 20\)).

502. Расстояние между пристанями равно \(s\) км. Катер отчалил от нижней по течению пристани к верхней и через \(t_1\) ч встретил плот, который отправили от верхней пристани за \(t_2\) ч до начала движения катера. Путь между пристанями туда и обратно катер проходит за \(t\) ч. Найти скорость течения и собственную скорость катера (\(s = 28\), \(t_1 = t_2 = 2\), \(t = 4\frac{48}{60} = 4{,}8\)).

Математическая модель:

В задаче 487 обозначим скорость мотоциклиста, который прибыл позже, \(x\) км/ч, а скорость другого — \(y\) км/ч. До встречи они вместе проехали \(s\) км, а весь путь первый проезжает на \(t_0\) ч дольше второго:

\(\begin{cases} tx + ty = s, \\ \frac{s}{x} - \frac{s}{y} = t_0. \end{cases}\)

В задаче 488 обозначим скорость автобуса \(x\) км/ч, а скорость автомобиля — \(y\) км/ч:

\(\begin{cases} kx - y = d, \\ \frac{s}{x} - \frac{s}{y} = t_0. \end{cases}\)

В задаче 490 обозначим скорость скорого поезда \(x\) км/ч, а товарного — \(y\) км/ч. До встречи скорый поезд был в пути \((t_1 + t_2)\) ч, а товарный — \(t_2\) ч, и вместе они прошли \(s\) км:

\(\begin{cases} (t_1 + t_2)x + t_2 y = s, \\ -\frac{s}{x} + \frac{s}{y} = t_0. \end{cases}\)

В задачах 491 и 492 обозначим скорость лодки по течению \(x\) км/ч, а против течения — \(y\) км/ч. На \(l_1\) км по течению и на \(l_2\) км против течения лодка тратит одинаковое время: \(\frac{l_1}{x} = \frac{l_2}{y}\), т. е. \(l_2 x - l_1 y = 0\). Модель этих задач:

\(\begin{cases} l_2 x - l_1 y = 0, \\ \frac{s}{x} + \frac{s}{y} = t. \end{cases}\)

В задаче 493 обозначим через \(x\) дней и \(y\) дней время, за которое выполняет задание каждая бригада в отдельности. Первая бригада выполняет \(\frac{1}{k}\) задания за \(\frac{x}{k}\) дней, а вторая остальные \(\frac{k - 1}{k}\) задания — за \(\frac{(k - 1)y}{k}\) дней. За \(T\) дней совместной работы первая бригада выполняет \(\frac{T}{x}\) задания, а вторая — \(\frac{T}{y}\), вместе — всё задание:

\(\begin{cases} \frac{1}{k}x + \frac{k - 1}{k}y = t, \\ \frac{T}{x} + \frac{T}{y} = 1. \end{cases}\)

В задаче 502 обозначим скорость катера по течению \(x\) км/ч, а против течения — \(y\) км/ч, тогда плот плывёт со скоростью \(\frac{x - y}{2}\) км/ч. До встречи плот плыл \((t_1 + t_2)\) ч, катер шёл против течения \(t_1\) ч, и вместе они прошли \(s\) км: \((t_1 + t_2) \cdot \frac{x - y}{2} + t_1 y = s\). Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим модель:

\(\begin{cases} \frac{t_1 + t_2}{2}x + \frac{t_1 - t_2}{2}y = s, \\ \frac{s}{x} + \frac{s}{y} = t. \end{cases}\)

Модели всех семи задач — системы вида

\(\begin{cases} px + qy = r, \\ \frac{a}{x} + \frac{b}{y} = h. \end{cases}\)

Здесь \(x > 0\), \(y > 0\), а в задачах о реке ещё и \(x > y\). В задаче 502 при \(t_1 = t_2\) коэффициент \(q\) равен нулю.

Входные данные: \(p\), \(q\), \(r\), \(a\), \(b\), \(h\) — числа системы, \(p \ne 0\), \(b \ne 0\), \(h \ne 0\).
Выходные данные: все пары положительных чисел \(x\), \(y\), которые являются решениями системы. В задачах о реке по ним находят скорость течения и собственную скорость.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(p\), \(q\), \(r\), \(a\), \(b\), \(h\).
2. Если \(p \ne 0\), \(b \ne 0\) и \(h \ne 0\), то выполнить шаги 3—6, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Если \(q = 0\), то вычислить \(x = \frac{r}{p}\). Если при этом \(hx - a = 0\), то вывести сообщение «решений нет» и закончить работу, иначе вычислить \(y = \frac{bx}{hx - a}\) (это значение \(y\) находят из второго уравнения) и перейти к шагу 6.
4. Если \(q \ne 0\), то вычислить \(A = hp\), \(B = bq - ap - hr\), \(C = ar\) — коэффициенты квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\). Оно получается, если во второе уравнение подставить \(y = \frac{r - px}{q}\) из первого и умножить обе его части на \(x(r - px)\). Вычислить \(D = B^2 - 4AC\). Если \(D < 0\), то вывести сообщение «решений нет» и закончить работу.
5. Вычислить корни \(x_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A}\), \(x_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}\) и для каждого из них \(y = \frac{r - px}{q}\).
6. Вывести те пары \(x\), \(y\), в которых \(x > 0\) и \(y > 0\), а в задаче о реке — ещё и \(x > y\). Если таких пар нет, вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи 488: \(p = 2\), \(q = -1\), \(r = 40\), \(a = 240\), \(b = -240\), \(h = 1\), данные допустимы, \(q \ne 0\).

\(A = 1 \cdot 2 = 2\), \(B = (-240) \cdot (-1) - 240 \cdot 2 - 1 \cdot 40 = -280\), \(C = 240 \cdot 40 = 9600\).
\(D = (-280)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9600 = 78\,400 - 76\,800 = 1600\), \(\sqrt{D} = 40\).
\(x_1 = \frac{280 - 40}{2 \cdot 2} = 60\), \(x_2 = \frac{280 + 40}{2 \cdot 2} = 80\).
\(y_1 = \frac{40 - 2 \cdot 60}{-1} = 80\), \(y_2 = \frac{40 - 2 \cdot 80}{-1} = 120\).

Обе пары чисел положительны. Скорость автобуса равна 60 км/ч, а автомобиля — 80 км/ч, или скорость автобуса равна 80 км/ч, а автомобиля — 120 км/ч.

Задачи 496, 497.

Задача в общем виде:

496. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как \(m_1 : n_1\) и \(m_2 : n_2\). Найти, сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы, переплавив их, получить \(M\) кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка (\(m_1 = 5\), \(n_1 = 2\), \(m_2 = 3\), \(n_2 = 4\), \(M = 28\)).

497. Есть два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке массы золота и меди относятся как \(m_1 : n_1\), во втором — как \(m_2 : n_2\). Если сплавить часть \(k_1\) первого слитка с частью \(l_1\) второго, то в полученном слитке золота окажется столько, сколько было меди в первом слитке. Если сплавить часть \(k_2\) первого слитка с частью \(l_2\) второго, то в полученном слитке меди окажется на \(d\) кг больше, чем было золота во втором слитке. Найти массу золота в каждом слитке (\(m_1 = 1\), \(n_1 = 2\), \(m_2 = 2\), \(n_2 = 3\), \(k_1 = \frac{1}{3}\), \(l_1 = \frac{5}{6}\), \(k_2 = \frac{2}{3}\), \(l_2 = \frac{1}{2}\), \(d = 1\)).

Математическая модель:

В задаче 496 обозначим массы первого и второго сплавов \(x\) кг и \(y\) кг. Медь составляет \(\frac{m_1}{m_1 + n_1}\) массы первого сплава и \(\frac{m_2}{m_2 + n_2}\) массы второго, а в новом сплаве меди половина:

\(\begin{cases} x + y = M, \\ \frac{m_1}{m_1 + n_1}x + \frac{m_2}{m_2 + n_2}y = \frac{M}{2}. \end{cases}\)

В задаче 497 обозначим массы золота в первом и втором слитках \(x\) кг и \(y\) кг, тогда меди в них \(\frac{n_1}{m_1}x\) кг и \(\frac{n_2}{m_2}y\) кг:

\(\begin{cases} k_1 x + l_1 y = \frac{n_1}{m_1}x, \\ k_2 \cdot \frac{n_1}{m_1}x + l_2 \cdot \frac{n_2}{m_2}y = y + d. \end{cases}\)

Обе модели — системы линейных уравнений вида

\(\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1, \\ a_2 x + b_2 y = c_2. \end{cases}\)

В задаче 497 для этого члены с переменными переносят в левые части уравнений.

Входные данные: \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\), \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\) — числа системы.
Выходные данные: \(x\) и \(y\).

Алгоритм решения — те же формулы способа сложения, что и для задач 485, 486, 494, 495, но без перехода к обратным величинам:
1. Ввести \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\), \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\).
2. Вычислить \(m = a_1 b_2 - a_2 b_1\). Если \(m = 0\), то вывести сообщение «нет единственного решения» и закончить работу.
3. Вычислить \(x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{m}\) и \(y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{m}\).
4. Если \(x > 0\) и \(y > 0\), то вывести \(x\) и \(y\), иначе вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи 496: \(a_1 = b_1 = 1\), \(c_1 = 28\), \(a_2 = \frac{5}{7}\), \(b_2 = \frac{3}{7}\), \(c_2 = 14\).

\(m = 1 \cdot \frac{3}{7} - \frac{5}{7} \cdot 1 = -\frac{2}{7}\).
\(x = \frac{28 \cdot \frac{3}{7} - 14 \cdot 1}{-\frac{2}{7}} = \frac{-2}{-\frac{2}{7}} = 7\), \(y = \frac{1 \cdot 14 - \frac{5}{7} \cdot 28}{-\frac{2}{7}} = \frac{-6}{-\frac{2}{7}} = 21\).

Первого сплава надо взять 7 кг, второго — 21 кг.

Задача 498.

Задача в общем виде: теплоход проходит путь от пристани \(A\) до пристани \(B\) по течению реки за \(t_1\) ч, а обратно — за \(t_2\) ч. Найти время, за которое путь от \(A\) до \(B\) проплывёт плот (\(t_1 = 3\), \(t_2 = 4\)).

Математическая модель: обозначим расстояние между пристанями \(s\) км, скорость теплохода по течению \(x\) км/ч, а против течения — \(y\) км/ч. Тогда \(x = \frac{s}{t_1}\), \(y = \frac{s}{t_2}\), а плот плывёт со скоростью течения \(\frac{x - y}{2}\) км/ч и тратит на путь \(\frac{2s}{x - y}\) ч. Подставив \(x\) и \(y\) и сократив дробь на \(s\), получим модель — формулу \(T = \frac{2}{\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}} = \frac{2t_1 t_2}{t_2 - t_1}\). Расстояние \(s\) в неё не входит.

Входные данные: \(t_1\), \(t_2\) — время движения теплохода по течению и против течения, \(0 < t_1 < t_2\).
Выходные данные: \(T\) — время движения плота.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(t_1\) и \(t_2\).
2. Если \(0 < t_1 < t_2\), то вычислить и вывести \(T = \frac{2t_1 t_2}{t_2 - t_1}\), иначе вывести сообщение «неверные данные».

Для чисел задачи: \(T = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 - 3} = 24\) (ч). Плот проплывёт путь от \(A\) до \(B\) за 24 ч.

Задача 499.

Задача в общем виде: лодка прошла \(s_1\) км по течению реки и \(s_2\) км против течения, затратив на это столько же времени, сколько ей нужно, чтобы проплыть \(s_3\) км в стоячей воде. Найти отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения (\(s_1 = 34\), \(s_2 = 39\), \(s_3 = 75\)).

Математическая модель: обозначим собственную скорость лодки \(v\) км/ч, скорость течения — \(u\) км/ч и искомое отношение \(k = \frac{v}{u}\), тогда \(v = ku\) и \(k > 1\) (лодка может плыть против течения). Время движения равно пути, делённому на скорость, а \(v + u = u(k + 1)\), \(v - u = u(k - 1)\), поэтому

\(\dfrac{s_1}{u(k + 1)} + \dfrac{s_2}{u(k - 1)} = \dfrac{s_3}{uk}; \qquad | \cdot u\)
\(\dfrac{s_1}{k + 1} + \dfrac{s_2}{k - 1} = \dfrac{s_3}{k}; \qquad | \cdot k(k + 1)(k - 1)\)
\(s_1 k(k - 1) + s_2 k(k + 1) = s_3(k^2 - 1);\)
\((s_1 + s_2 - s_3)k^2 + (s_2 - s_1)k + s_3 = 0.\)

Модель — это квадратное уравнение относительно \(k\), корень которого должен быть больше 1.

Входные данные: \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\) — положительные числа.
Выходные данные: \(k\) — отношение собственной скорости лодки к скорости течения.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\).
2. Если \(s_1 > 0\), \(s_2 > 0\) и \(s_3 > 0\), то выполнить шаги 3—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить \(A = s_1 + s_2 - s_3\), \(B = s_2 - s_1\), \(C = s_3\).
4. Если \(A = 0\), то при \(B \ne 0\) вычислить единственный корень \(k = -\frac{C}{B}\), а при \(B = 0\) вывести сообщение «решений нет» и закончить работу. Если \(A \ne 0\), то вычислить \(D = B^2 - 4AC\). При \(D < 0\) вывести сообщение «решений нет» и закончить работу, иначе вычислить корни \(k_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A}\) и \(k_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}\).
5. Вывести корни, которые больше 1. Если таких корней нет, вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи: \(A = 34 + 39 - 75 = -2\), \(B = 39 - 34 = 5\), \(C = 75\).

\(D = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 75 = 25 + 600 = 625\), \(\sqrt{D} = 25\).
\(k_1 = \frac{-5 - 25}{2 \cdot (-2)} = 7{,}5\), \(k_2 = \frac{-5 + 25}{2 \cdot (-2)} = -5\).

Больше 1 только корень \(7{,}5 = \frac{15}{2}\). Скорость лодки в стоячей воде относится к скорости течения как \(15 : 2\).

Задачи 500, 501, 503, 506.

Задача в общем виде:

500, 501. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно \(s\) км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста (в задаче 501 — два автомобиля). Первый прибыл во второй пункт через \(t_1\) ч после встречи, а второй прибыл в первый пункт через \(t_2\) ч после встречи. Найти скорость каждого. Числа задачи 500: \(s = 40\), \(t_1 = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}\), \(t_2 = 1{,}5\). Числа задачи 501: \(s = 180\), \(t_1 = 1\frac{36}{60} = 1{,}6\), \(t_2 = 2{,}5\).

503. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) вышел первый поезд, а через \(d\) ч из пункта \(B\) в пункт \(A\) — второй. Они встретились в пункте \(C\). От \(C\) до \(B\) первый поезд шёл \(t_1\) ч, а второй от \(C\) до \(A\) — \(t_2\) ч. Найти время, за которое каждый поезд проходит путь между \(A\) и \(B\) (\(d = 5\), \(t_1 = 4\), \(t_2 = 6\)).

506. В два одинаковых бассейна одновременно начали наливать воду, причём в первый за 1 ч поступает на \(c\) м³ больше воды, чем во второй. В некоторый момент в обоих бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько вмещает каждый из них. После этого момента первый бассейн наполнился через \(t_1\) ч, а второй — через \(t_2\) ч. Найти, сколько воды поступало за 1 ч в каждый бассейн (\(c = 30\), \(t_1 = 2\frac{40}{60} = \frac{8}{3}\), \(t_2 = \frac{8}{3} + 3\frac{20}{60} = 6\)).

Математическая модель: обозначим скорости первого и второго \(x\) и \(y\) (в задаче 506 — объёмы воды, которые поступают за 1 ч в первый и второй бассейны), а время, которое второй был в пути до встречи, — \(t\) ч. Первый до встречи был в пути \((t + d)\) ч, в задачах 500, 501, 506 \(d = 0\). После встречи каждый проходит ту часть пути, которую до встречи прошёл другой. В задаче 506 роль встречи играет указанный момент: после него в первый бассейн нужно долить столько воды, сколько уже налито во второй, а во второй — сколько налито в первый. Модель всех четырёх задач:

\(\begin{cases} ty = t_1 x, \\ (t + d)x = t_2 y. \end{cases}\)

Перемножим уравнения системы и разделим обе части полученного равенства на \(xy > 0\):

\(t(t + d)xy = t_1 t_2 xy; \qquad | : xy\)
\(t(t + d) = t_1 t_2;\)
\(t^2 + dt - t_1 t_2 = 0.\)

Из этого уравнения находят \(t\). Весь путь первый проходит за \(T_1 = t + d + t_1\) ч, а второй — за \(T_2 = t + t_2\) ч. В задаче 506 вместимость бассейна \(V\) м³ не дана, зато \(x - y = c\): из равенства \(\frac{V}{T_1} - \frac{V}{T_2} = c\) получаем \(V = \frac{cT_1 T_2}{T_2 - T_1}\), а затем \(x = \frac{V}{T_1}\), \(y = \frac{V}{T_2}\).

Входные данные: \(t_1\), \(t_2\), \(d\), а также \(s\) (задачи 500, 501) или \(c\) (задача 506), \(t_1 > 0\), \(t_2 > 0\), \(d \geqslant 0\).
Выходные данные: \(T_1\) и \(T_2\), а в задачах 500, 501, 506 — ещё \(x\) и \(y\).

Алгоритм решения:
1. Ввести \(t_1\), \(t_2\), \(d\) и, если они даны, \(s\) или \(c\).
2. Если \(t_1 > 0\), \(t_2 > 0\) и \(d \geqslant 0\), то выполнить шаги 3—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить \(t = \frac{-d + \sqrt{d^2 + 4t_1 t_2}}{2}\) — положительный корень уравнения \(t^2 + dt - t_1 t_2 = 0\) (произведение его корней равно \(-t_1 t_2 < 0\), поэтому положительный корень один).
4. Вычислить \(T_1 = t + d + t_1\), \(T_2 = t + t_2\) и вывести их.
5. Если дано \(s\), то вычислить и вывести \(x = \frac{s}{T_1}\), \(y = \frac{s}{T_2}\). Если дано \(c\), то при \(T_1 < T_2\) вычислить \(V = \frac{cT_1 T_2}{T_2 - T_1}\) и вывести \(x = \frac{V}{T_1}\), \(y = \frac{V}{T_2}\), а при \(T_1 \geqslant T_2\) вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи 503 данные допустимы.

\(t = \frac{-5 + \sqrt{5^2 + 4 \cdot 4 \cdot 6}}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = 3\).
\(T_1 = 3 + 5 + 4 = 12\), \(T_2 = 3 + 6 = 9\).

Первый (товарный) поезд проходит путь между \(A\) и \(B\) за 12 ч, а второй (пассажирский) — за 9 ч.

Задача 504.

Задача в общем виде: к пустому баку вместимостью \(V\) м³ подведены три трубы. Сначала воду подавали только через первую трубу, затем — только через вторую и третью, пока бак не наполнился, причём вторая и третья трубы были открыты в \(k\) раз дольше, чем первая. Если бы вторая и третья трубы были открыты \(T\) ч, то через них поступило бы столько же воды, сколько поступило через первую. Найти, сколько времени была открыта первая труба, если через неё поступает \(q\) м³ воды в час (\(V = 500\), \(k = 2\), \(T = 12\frac{30}{60} = 12{,}5\), \(q = 18\): 300 л в минуту — это \(300 \cdot 60 = 18\,000\) л, т. е. 18 м³ в час).

Математическая модель: обозначим время работы первой трубы \(x\) ч, а объём воды, которая поступает за 1 ч через вторую и третью трубы вместе, — \(w\) м³:

\(\begin{cases} qx + w \cdot kx = V, \\ wT = qx. \end{cases}\)

Из второго уравнения \(w = \frac{qx}{T}\). Подставив это выражение в первое уравнение, получим квадратное уравнение \(\frac{kq}{T}x^2 + qx - V = 0\), где \(x > 0\).

Входные данные: \(V\), \(k\), \(T\), \(q\) — положительные числа.
Выходные данные: \(x\) — время работы первой трубы.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(V\), \(k\), \(T\), \(q\).
2. Если \(V > 0\), \(k > 0\), \(T > 0\) и \(q > 0\), то выполнить шаги 3—4, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить \(A = \frac{kq}{T}\), \(B = q\), \(C = -V\) и \(D = B^2 - 4AC\) (здесь \(D > 0\), так как \(AC < 0\)).
4. Вычислить и вывести \(x = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}\) — положительный корень уравнения (произведение корней \(\frac{C}{A} < 0\), поэтому второй корень отрицателен).

Для чисел задачи: \(A = \frac{2 \cdot 18}{12{,}5} = 2{,}88\), \(B = 18\), \(C = -500\), данные допустимы.

\(D = 18^2 - 4 \cdot 2{,}88 \cdot (-500) = 324 + 5760 = 6084\), \(\sqrt{D} = 78\).
\(x = \frac{-18 + 78}{2 \cdot 2{,}88} = \frac{60}{5{,}76} = \frac{125}{12} = 10\frac{5}{12}\) (ч).
\(\frac{5}{12}\) ч — это \(60 \cdot \frac{5}{12} = 25\) мин. Первая труба была открыта 10 ч 25 мин.

Задача 505.

Задача в общем виде: пристань \(A\) находится выше по течению реки, чем пристань \(B\). От пристаней \(A\) и \(B\) одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Дойдя до пристани \(A\), лодка сразу повернула обратно и догнала плот, когда он проплыл часть \(m\) расстояния между пристанями. Найти время, за которое плот проплывает путь от \(A\) до \(B\), если лодка проплывает путь от \(B\) до \(A\) и обратно за \(t\) ч (\(m = \frac{2}{3}\), \(t = 3\)).

Математическая модель: обозначим расстояние между пристанями \(s\) км, собственную скорость лодки \(v\) км/ч, скорость течения (и плота) \(u\) км/ч и отношение \(k = \frac{v}{u}\), тогда \(v - u = u(k - 1)\), \(v + u = u(k + 1)\). Искомое время равно \(T = \frac{s}{u}\) ч. Пока лодка не догнала плот, он плыл \(\frac{ms}{u}\) ч, а лодка за это время прошла \(s\) км против течения и \(ms\) км по течению:

\(\dfrac{s}{u(k - 1)} + \dfrac{ms}{u(k + 1)} = \dfrac{ms}{u}; \qquad | \cdot \dfrac{u}{s}\)
\(\dfrac{1}{k - 1} + \dfrac{m}{k + 1} = m; \qquad | \cdot (k - 1)(k + 1)\)
\(k + 1 + m(k - 1) = m(k^2 - 1);\)
\(mk^2 - (1 + m)k - 1 = 0.\)

Путь туда и обратно лодка проходит за \(t\) ч: \(\frac{s}{u(k - 1)} + \frac{s}{u(k + 1)} = t\), т. е. \(T \cdot \frac{2k}{k^2 - 1} = t\), откуда \(T = \frac{t(k^2 - 1)}{2k}\).

Входные данные: \(m\) — часть расстояния, \(0 < m < 1\), и \(t\) — время движения лодки туда и обратно, \(t > 0\).
Выходные данные: \(T\) — время движения плота от \(A\) до \(B\).

Алгоритм решения:
1. Ввести \(m\) и \(t\).
2. Если \(0 < m < 1\) и \(t > 0\), то выполнить шаги 3—4, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить \(D = (1 + m)^2 + 4m\) и \(k = \frac{1 + m + \sqrt{D}}{2m}\) — положительный корень уравнения \(mk^2 - (1 + m)k - 1 = 0\) (произведение его корней равно \(-\frac{1}{m} < 0\)). Этот корень больше 1: при \(k = 1\) трёхчлен \(mk^2 - (1 + m)k - 1\) равен \(-2 < 0\).
4. Вычислить и вывести \(T = \frac{t(k^2 - 1)}{2k}\).

Для чисел задачи данные допустимы.

\(D = \left(1 + \frac{2}{3}\right)^2 + 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{25}{9} + \frac{24}{9} = \frac{49}{9}\), \(\sqrt{D} = \frac{7}{3}\).
\(k = \frac{\frac{5}{3} + \frac{7}{3}}{2 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{4}{\frac{4}{3}} = 3\).
\(T = \frac{3 \cdot (3^2 - 1)}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4\) (ч).

Плот проплывает путь от \(A\) до \(B\) за 4 ч.

Задачи 507, 508, 509.

Задача в общем виде:

507. От причала одновременно отплыли две лодки. Сначала они плыли \(s_1\) км по озеру, а затем \(s_2\) км по течению реки до другого причала. Первая лодка была в пути не больше \(T_1\) ч, а вторая — не меньше \(T_2\) ч. Скорость течения реки равна \(u\) км/ч, а скорость второй лодки в стоячей воде составляет \(p\) % скорости первой. Найти скорость каждой лодки в стоячей воде (\(s_1 = 8\), \(s_2 = 5\), \(T_1 = 2\frac{50}{60} = \frac{17}{6}\), \(T_2 = 3\frac{40}{60} = \frac{11}{3}\), \(u = 2\), \(p = 75\)).

508. Два рабочих изготовили по \(2n\) одинаковых деталей. Первые \(n\) деталей каждый делал с некоторой производительностью, причём у второго она была на \(p\) % выше, чем у первого. Потом первый стал делать в час на \(d_1\) деталей больше, а второй — на \(d_2\) деталей больше. Первый рабочий работал не меньше \(T_1\) ч, а второй — не больше \(T_2\) ч. Найти, сколько деталей в час делал второй рабочий в первой половине работы (\(n = 30\), \(p = 20\), \(d_1 = 2\), \(d_2 = 3\), \(T_1 = 5{,}5\), \(T_2 = 4{,}5\)).

509. Токарю поручили изготовить \(N_1\) деталей, а ученику — \(N_2\). Первые \(n\) деталей токарь делал с производительностью, в \(k\) раз большей, чем у ученика, а остальные — ещё на \(d\) деталей в час больше, и закончил работу не меньше чем на \(t_1\) ч позже ученика. Если бы все детали токарь делал с этой большей производительностью, то закончил бы не меньше чем через \(t_2\) ч после ученика. Найти, сколько деталей в час делал ученик (\(N_1 = 90\), \(N_2 = 35\), \(n = 30\), \(k = 2\), \(d = 2\), \(t_1 = 1\), \(t_2 = 0{,}5\)).

Математическая модель:

Обозначим через \(x\) неизвестную величину: в задаче 507 — скорость первой лодки в стоячей воде (км/ч), в задаче 508 — первоначальную производительность первого рабочего, в задаче 509 — производительность ученика (деталей в час).

В задаче 507 скорость второй лодки равна \(\frac{p}{100}x\) км/ч. Лодка, скорость которой в стоячей воде равна \(w\) км/ч, находится в пути \(\frac{s_1}{w} + \frac{s_2}{w + u}\) ч. Поэтому при \(w = x\) должно выполняться неравенство \(\frac{s_1}{w} + \frac{s_2}{w + u} \leqslant T_1\), а при \(w = \frac{p}{100}x\) — неравенство \(\frac{s_1}{w} + \frac{s_2}{w + u} \geqslant T_2\).

В задаче 508 производительность второго рабочего в первой половине работы равна \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)x\) деталей в час. Если первые \(n\) деталей рабочий делал по \(w\) деталей в час, а остальные \(n\) — по \((w + e)\) деталей в час, то он работал \(\frac{n}{w} + \frac{n}{w + e}\) ч. Поэтому при \(w = x\) должно выполняться неравенство \(\frac{n}{w} + \frac{n}{w + d_1} \geqslant T_1\), а при \(w = \left(1 + \frac{p}{100}\right)x\) — неравенство \(\frac{n}{w} + \frac{n}{w + d_2} \leqslant T_2\).

В задаче 509 обозначим через \(w = kx\) производительность токаря при изготовлении первых \(n\) деталей. Ученик работал \(\frac{N_2}{x} = \frac{kN_2}{w}\) ч, а токарь — \(\frac{n}{w} + \frac{N_1 - n}{w + d}\) ч, поэтому \(\frac{n}{w} + \frac{N_1 - n}{w + d} - \frac{kN_2}{w} \geqslant t_1\), т. е. \(\frac{n - kN_2}{w} + \frac{N_1 - n}{w + d} \geqslant t_1\). Если бы токарь все детали делал по \((w + d)\) деталей в час, то выполнялось бы неравенство \(\frac{N_1}{w + d} - \frac{kN_2}{w} \geqslant t_2\).

Модель каждой из трёх задач — система двух неравенств, каждое из которых имеет вид \(\frac{a}{w} + \frac{b}{w + m} \leqslant T\) или \(\frac{a}{w} + \frac{b}{w + m} \geqslant T\), где \(w = rx\), \(w > 0\), \(w + m > 0\), \(T > 0\). В задаче 507 для первого неравенства \(r = 1\), для второго \(r = \frac{p}{100}\). В задаче 508 для первого неравенства \(r = 1\), для второго \(r = 1 + \frac{p}{100}\). В задаче 509 для обоих неравенств \(r = k\).

Входные данные: для каждого из двух неравенств — числа \(r\), \(a\), \(b\), \(m\), \(T\) и знак неравенства (\(\leqslant\) или \(\geqslant\)).
Выходные данные: значения \(x\), при которых верны оба неравенства.

Алгоритм решения:
1. Ввести числа обоих неравенств.
2. Если в обоих неравенствах \(r > 0\) и \(T > 0\), то выполнить шаги 3—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Для каждого неравенства вычислить \(A = T\), \(B = Tm - a - b\), \(C = -am\), \(D = B^2 - 4AC\), а при \(D \geqslant 0\) — корни \(w_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A}\) и \(w_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}\). При \(w > 0\) и \(w + m > 0\) обе части неравенства можно умножить на \(w(w + m) > 0\). Неравенство со знаком \(\leqslant\) равносильно неравенству \(Aw^2 + Bw + C \geqslant 0\), его решения — \(w \leqslant w_1\) или \(w \geqslant w_2\) (при \(D < 0\) — любые \(w\)). Неравенство со знаком \(\geqslant\) равносильно неравенству \(Aw^2 + Bw + C \leqslant 0\), его решения — \(w_1 \leqslant w \leqslant w_2\) (при \(D < 0\) решений нет).
4. Из решений каждого неравенства оставить те, для которых \(w > 0\) и \(w + m > 0\), и перейти к \(x = \frac{w}{r}\): границы найденных промежутков разделить на \(r\).
5. Найти общие решения двух неравенств и вывести их. Если общих решений нет, вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи 509: \(w = 2x\), для обоих неравенств \(r = 2\).

Первое неравенство: \(a = 30 - 2 \cdot 35 = -40\), \(b = 90 - 30 = 60\), \(m = 2\), \(T = 1\), знак \(\geqslant\).

\(A = 1\), \(B = 1 \cdot 2 + 40 - 60 = -18\), \(C = -(-40) \cdot 2 = 80\), \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 324 - 320 = 4\).
\(w_1 = \frac{18 - 2}{2} = 8\), \(w_2 = \frac{18 + 2}{2} = 10\), решения: \(8 \leqslant w \leqslant 10\), т. е. \(4 \leqslant x \leqslant 5\).

Второе неравенство: \(a = -2 \cdot 35 = -70\), \(b = 90\), \(m = 2\), \(T = 0{,}5\), знак \(\geqslant\).

\(A = 0{,}5\), \(B = 0{,}5 \cdot 2 + 70 - 90 = -19\), \(C = -(-70) \cdot 2 = 140\), \(D = (-19)^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot 140 = 361 - 280 = 81\).
\(w_1 = \frac{19 - 9}{2 \cdot 0{,}5} = 10\), \(w_2 = \frac{19 + 9}{2 \cdot 0{,}5} = 28\), решения: \(10 \leqslant w \leqslant 28\), т. е. \(5 \leqslant x \leqslant 14\).

Оба неравенства верны только при \(x = 5\). Ученик делал 5 деталей в час.

Задачи 510, 511.

Задача в общем виде:

510. Бригады рабочих получили со склада рабочую одежду, по \(k\) комплектов на каждого человека, причём каждая бригада получила на \(d\) комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на \(m\) больше и каждой бригаде выдали бы по \(c\) комплектов, то одежды на всех не хватило бы. Найти, сколько комплектов одежды было на складе (\(k = 2\), \(d = 20\), \(m = 4\), \(c = 12\)).

511. Солдат, прибывших на парад, планировали выстроить по \(a\) человек в каждом ряду. Участвовать в параде смогли не все, и их выстроили так, что рядов стало на \(m\) меньше, чем планировалось, а в каждом ряду было на \(d\) человек больше, чем стало рядов. Если бы в параде участвовали все прибывшие, их можно было бы выстроить так, чтобы рядов было столько же, сколько человек в ряду. Найти, сколько солдат прибыло на парад (\(a = 24\), \(m = 2\), \(d = 26\)).

Математическая модель:

В задаче 510 обозначим количество бригад \(x\), тогда каждая бригада получила \((x + d)\) комплектов, а на складе было \(x(x + d)\) комплектов. Одежды не хватило бы: \(x(x + d) < c(x + m)\), т. е. \(x^2 + (d - c)x - cm < 0\). Кроме того, \(x\) — натуральное число, а \(x + d\) делится на \(k\), так как каждая бригада получила по \(k\) комплектов на человека.

В задаче 511 обозначим запланированное количество рядов \(x\), тогда на парад прибыло \(ax\) солдат. Рядов стало \(x - m\), в каждом ряду было \(x - m + d\) человек, и всего участников меньше, чем прибыло: \((x - m)(x - m + d) < ax\), т. е. \(x^2 + (d - 2m - a)x + m^2 - md < 0\). Кроме того, \(x\) — натуральное число, \(x > m\), а число \(ax\) — квадрат натурального числа.

Обе модели — неравенство вида \(x^2 + Bx + C < 0\), решения которого ищут среди натуральных чисел, и дополнительное условие для \(x\) (делимость, квадрат числа).

Входные данные: \(B\), \(C\) — коэффициенты неравенства, и дополнительное условие.
Выходные данные: натуральные числа \(x\), удовлетворяющие неравенству и дополнительному условию, и найденная по ним искомая величина: \(x(x + d)\) в задаче 510, \(ax\) в задаче 511.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(B\), \(C\) и дополнительное условие.
2. Вычислить \(D = B^2 - 4C\). Если \(D \leqslant 0\), то вывести сообщение «решений нет» (трёхчлен \(x^2 + Bx + C\) не принимает отрицательных значений) и закончить работу.
3. Вычислить корни \(x_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2}\) и \(x_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2}\). Решения неравенства — числа \(x\), для которых \(x_1 < x < x_2\).
4. Для каждого натурального \(x\), для которого \(x_1 < x < x_2\), проверить дополнительное условие. Если оно выполнено, вывести \(x\) и искомую величину.
5. Если не выведено ни одного числа, вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи 510: \(B = 20 - 12 = 8\), \(C = -12 \cdot 4 = -48\), дополнительное условие: \(x + 20\) делится на 2.

\(D = 8^2 - 4 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256\), \(\sqrt{D} = 16\).
\(x_1 = \frac{-8 - 16}{2} = -12\), \(x_2 = \frac{-8 + 16}{2} = 4\), натуральные решения неравенства — 1, 2, 3. \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & x + 20 & \text{делится ли на } 2 \\ \hline 1 & 21 & 21 = 2 \cdot 10 + 1,\ \text{нет} \\ \hline 2 & 22 & 22 = 2 \cdot 11,\ \text{да} \\ \hline 3 & 23 & 23 = 2 \cdot 11 + 1,\ \text{нет} \\ \hline \end{array}\]

Бригад было 2, каждая получила \(2 + 20 = 22\) комплекта, на складе было \(2 \cdot 22 = 44\) комплекта.

Задача 512.

Задача в общем виде: на заводе есть цеха трёх типов. В каждом цехе первого, второго и третьего типов работает соответственно \(a\), \(b\) и \(c\) рабочих, а всего в этих цехах работает \(N\) человек. Найти количество цехов каждого типа (\(a = 350\), \(b = 80\), \(c = 60\), \(N = 980\)).

Математическая модель: обозначим количества цехов первого, второго и третьего типов \(x\), \(y\) и \(z\). Модель — уравнение \(ax + by + cz = N\), в котором \(x\), \(y\), \(z\) — натуральные числа.

Входные данные: \(a\), \(b\), \(c\), \(N\) — натуральные числа.
Выходные данные: все тройки натуральных чисел \(x\), \(y\), \(z\), удовлетворяющие уравнению.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a\), \(b\), \(c\), \(N\).
2. Если \(a\), \(b\), \(c\), \(N\) — натуральные числа, то выполнить шаги 3—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Перебрать натуральные \(x\), при которых \(ax + b + c \leqslant N\), и для каждого из них выполнить шаг 4.
4. Перебрать натуральные \(y\), при которых \(ax + by + c \leqslant N\), и для каждого из них вычислить количество рабочих в цехах третьего типа \(R = N - ax - by\). Если \(R\) делится на \(c\), то вывести тройку \(x\), \(y\), \(z = \frac{R}{c}\).
5. Если не выведено ни одной тройки, вывести сообщение «решений нет».

Для чисел задачи: неравенство \(350x + 80 + 60 \leqslant 980\) верно при \(x = 1\) и \(x = 2\). При \(x = 1\) неравенство \(350 + 80y + 60 \leqslant 980\) верно при \(y \leqslant 7\), а при \(x = 2\) неравенство \(700 + 80y + 60 \leqslant 980\) — при \(y \leqslant 2\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & R & \text{делится ли } R \text{ на } 60 \\ \hline 1 & 1 & 550 & 550 = 60 \cdot 9 + 10,\ \text{нет} \\ \hline 1 & 2 & 470 & 470 = 60 \cdot 7 + 50,\ \text{нет} \\ \hline 1 & 3 & 390 & 390 = 60 \cdot 6 + 30,\ \text{нет} \\ \hline 1 & 4 & 310 & 310 = 60 \cdot 5 + 10,\ \text{нет} \\ \hline 1 & 5 & 230 & 230 = 60 \cdot 3 + 50,\ \text{нет} \\ \hline 1 & 6 & 150 & 150 = 60 \cdot 2 + 30,\ \text{нет} \\ \hline 1 & 7 & 70 & 70 = 60 \cdot 1 + 10,\ \text{нет} \\ \hline 2 & 1 & 200 & 200 = 60 \cdot 3 + 20,\ \text{нет} \\ \hline 2 & 2 & 120 & 120 = 60 \cdot 2,\ \text{да} \\ \hline \end{array}\]

Подходит единственная тройка: \(x = 2\), \(y = 2\), \(z = \frac{120}{60} = 2\). На заводе по 2 цеха каждого типа.

Задачи 516—521.

Задача в общем виде:

516. Агрофирма владеет \(a\) га земли, \(p\) % которой занимает фруктовый сад. Найти площадь сада (\(a = 120\), \(p = 18\)).

517. Масса соли составляет \(p\) % массы раствора. Найти, сколько килограммов раствора надо взять, чтобы он содержал \(b\) кг соли (\(p = 24\), \(b = 96\)).

518. Найти процентное содержание олова в руде, если \(a\) т этой руды содержат \(b\) т олова (\(a = 40\), \(b = 3{,}2\)).

519, 520. Цена товара изменилась с \(a\) р. до \(c\) р. Найти, на сколько процентов изменилась цена. Числа задачи 519: \(a = 1200\), \(c = 1500\). Числа задачи 520: \(a = 1500\), \(c = 1200\).

521. Цену товара снизили на \(p_1\) %, а потом повысили на \(p_2\) %. Найти, на сколько процентов изменилась первоначальная цена (\(p_1 = 10\), \(p_2 = 25\)).

Математическая модель: во всех шести задачах число \(a\) принимают за 100 %, а число \(b\), которое составляет \(p\) % от \(a\), находят по формуле \(b = \frac{a \cdot p}{100}\). В задаче 516 неизвестно \(b\). В задаче 517 неизвестно \(a\), и \(a = \frac{100 \cdot b}{p}\). В задаче 518 неизвестно \(p\), и \(p = \frac{b}{a} \cdot 100\). В задачах 519 и 520 роль \(b\) играет изменение цены \(|c - a|\), поэтому \(p = \frac{|c - a|}{a} \cdot 100\). В задаче 521 формулу применяют несколько раз: после снижения цена равна \(a\left(1 - \frac{p_1}{100}\right)\), после повышения — \(c = a\left(1 - \frac{p_1}{100}\right)\left(1 + \frac{p_2}{100}\right)\), а затем изменение цены сравнивают с \(a\), как в задачах 519 и 520.

Входные данные: две известные величины из трёх (\(a\), \(b\), \(p\)). В задачах 519 и 520 — цены \(a\) и \(c\), в задаче 521 — числа процентов \(p_1\) и \(p_2\).
Выходные данные: неизвестная величина, а в задачах 519—521 — число процентов, на которое изменилась цена, и то, повысилась она или снизилась.

Алгоритм решения:
1. Ввести известные величины и указать, какая величина неизвестна.
2. Если среди известных величин \(a\) или \(p\) есть число, не большее нуля, то вывести сообщение «неверные данные» и закончить работу.
3. Если неизвестно \(b\), то вычислить \(b = \frac{a \cdot p}{100}\). Если неизвестно \(a\), то вычислить \(a = \frac{100 \cdot b}{p}\). Если неизвестно \(p\), то вычислить \(p = \frac{b}{a} \cdot 100\). Вывести найденную величину.
4. Если цена менялась дважды, то взять \(a = 100\) и вычислить \(c = a\left(1 - \frac{p_1}{100}\right)\left(1 + \frac{p_2}{100}\right)\) (если в первый раз цену повысили, вместо \(1 - \frac{p_1}{100}\) берут \(1 + \frac{p_1}{100}\), а если во второй раз снизили, вместо \(1 + \frac{p_2}{100}\) берут \(1 - \frac{p_2}{100}\)).
5. Если цена изменилась с \(a\) до \(c\), то вычислить \(p = \frac{c - a}{a} \cdot 100\). При \(p > 0\) вывести «цена повысилась на \(p\) %», при \(p < 0\) — «цена снизилась на \(-p\) %», при \(p = 0\) — «цена не изменилась».

Для чисел задачи 521: \(a = 100\) (от выбора \(a\) результат не зависит).

\(c = 100 \cdot (1 - 0{,}1) \cdot (1 + 0{,}25) = 100 \cdot 0{,}9 \cdot 1{,}25 = 112{,}5\).
\(p = \frac{112{,}5 - 100}{100} \cdot 100 = 12{,}5\), \(p > 0\).

Первоначальная цена повысилась на 12,5 %.

Ответ: одинаковые математические модели имеют задачи 483, 484, 489; 485, 486, 494, 495; 487, 488, 490, 491, 492, 493, 502; 496, 497; 500, 501, 503, 506; 507, 508, 509; 510, 511; 516—521. Задачи 498, 499, 504, 505, 512 имеют каждая свою модель, номера 513—515 — не прикладные задачи.