Дружим с компьютером § 20 на странице 286, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Диаграмму в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc) строят по таблице данных. Порядок действий:
1. В первый столбец ввести подписи (годы, названия, значения признака), во второй — числа, а в первую строку — заголовки столбцов.
2. Выделить таблицу вместе с подписями и заголовками. Если подписи — числа (годы, значения признака), выделить только столбец чисел, а после вставки диаграммы указать подписи горизонтальной оси в окне выбора данных: иначе редактор примет подписи за второй ряд данных.
3. Через вкладку (меню) «Вставка» вставить диаграмму и выбрать её вид.
4. Оформить диаграмму: задать её название и названия осей, добавить подписи данных (числа над столбцами или на секторах), легенду и линии сетки, выбрать цвет заливки. Эти команды вызывают из контекстного меню элементов диаграммы (правая кнопка мыши).
5. При необходимости в параметрах вертикальной оси задать наименьшее и наибольшее значения шкалы и цену основного деления.

Вид готовой диаграммы можно сменить, не вводя данные заново, а при изменении чисел в таблице диаграмма перестраивается сама.

Основные виды диаграмм:
Гистограмма (столбчатая диаграмма) — каждому значению соответствует столбец, высота которого равна этому значению. Её выбирают, чтобы сравнить величины между собой или показать, как величина изменяется с течением времени.
Линейчатая диаграмма — такие же столбцы, но горизонтальные; она удобна, когда подписи длинные.
График — значения отмечены точками, а соседние точки соединены отрезками. Он наглядно показывает, как величина изменяется с течением времени.
Круговая диаграмма — круг изображает целое, а каждому значению соответствует сектор, величина которого пропорциональна этому значению. Её выбирают, чтобы показать, какую часть целого составляет каждое значение.

Если все значения велики и близки друг к другу, вертикальную шкалу начинают не с нуля, а с числа, немного меньшего наименьшего значения: различия между столбцами становятся заметнее, но высоты столбцов уже не пропорциональны значениям.

Надёжные данные о городах и регионах России публикуют официальные источники: Федеральная служба государственной статистики (Росстат) и её территориальные органы в регионах — численность населения, количество родившихся, количество школ и больниц по годам; официальные сайты администраций городов и областей; сведения о погоде и климате (средняя температура воздуха, количество осадков по месяцам) — Гидрометцентр России.

Порядок работы:
1. Выбрать показатель и период, например численность жителей своего города за 10 лет или среднюю температуру воздуха по месяцам.
2. Записать данные в таблицу: в столбец A — годы (месяцы, названия районов), в столбец B — значения; в заголовке столбца указать единицы измерения.
3. Выбрать вид диаграммы по смыслу данных: изменение величины по годам или месяцам — гистограмма или график; сравнение нескольких городов или районов — гистограмма; части целого (например, городское и сельское население области) — круговая диаграмма.
4. Оформить диаграмму: в названии указать, что, где и когда измерено, подписать оси с единицами измерения, добавить подписи данных, а под диаграммой указать источник данных.

Так, в задании 667 данные о среднегодовой температуре воздуха в десяти городах России оформлены столбчатой диаграммой.

Меры центральной тенденции выборки — среднее значение, мода и медиана. Если данные записаны в ячейки A2:A12, их вычисляют формулы:
=СРЗНАЧ(A2:A12) — среднее значение, то есть сумма всех данных, делённая на их количество;
=МЕДИАНА(A2:A12) — медиана: функция сама упорядочивает данные и берёт число, которое стоит посередине, а при чётном количестве данных — среднее арифметическое двух чисел, которые стоят посередине;
=МОДА(A2:A12) — мода, то есть значение, которое встречается чаще других.

Например, для цен 270, 280, 300, 300, 310, 350, 540, 550, 860, 890, 1400 (р.) эти формулы дают среднее значение 550 р., медиану 350 р. и моду 300 р.

Эту работу можно автоматизировать полностью: формулы вводят один раз, и при замене данных все три меры пересчитываются сами. Нужно лишь учесть, что функция МОДА выдаёт одно число, даже если наибольшая частота у нескольких значений, и не работает с нечисловыми данными (размерами одежды, буквами). Все моды находит частотная таблица:
1. В ячейки C2:C11 записать различные значения выборки (у цен выше их 10).
2. В D2 ввести =СЧЁТЕСЛИ($A$2:$A$12;C2) — частоту значения из ячейки C2 — и протянуть маркером заполнения до D11.
3. В E2 ввести =ЕСЛИ(D2=МАКС($D$2:$D$11);"мода";"") и протянуть до E11: слово «мода» появится у каждого значения с наибольшей частотой (у цен — только у 300 р., эта цена встречается дважды).

Ответ: да: среднее значение, медиану и моду вычисляют функции СРЗНАЧ, МЕДИАНА и МОДА, а все моды, в том числе у нечисловых данных, находит частотная таблица с функциями СЧЁТЕСЛИ, МАКС и ЕСЛИ.

Каждое задание выполняется на отдельном листе: данные вводят в ячейки, а всё остальное вычисляют формулы, поэтому при изменении данных результаты и диаграмма пересчитываются сами. Формулу, введённую в первую ячейку столбца, протягивают вниз маркером заполнения; ссылка со знаком $ (например, $B$12) при этом не меняется.

Задание 666.

По столбчатой диаграмме, на которой показано, сколько девятиклассников занимается в каждом кружке (компьютерный дизайн — 50 учеников, рисование — 30, лепка — 14, резьба по дереву — 30, радиотехника — 25), нужно ответить на вопросы: 1) какой кружок посещает больше всего девятиклассников; 2) какие кружки посещает одинаковое количество девятиклассников; 3) какую часть от количества учеников кружка компьютерного дизайна составляет количество учеников кружка рисования; 4) сколько процентов составляет количество учеников кружка лепки от количества учеников кружка радиотехники.

1. В ячейку A1 ввести «Кружок», в B1 — «Количество учеников»; в A2:A6 — названия кружков, в B2:B6 — числа 50, 30, 14, 30, 25.
2. Выделить A1:B6, вставить гистограмму и добавить подписи данных — получится диаграмма из условия, над столбцами которой написаны числа.
3. В C2 ввести =ЕСЛИ(B2=МАКС($B$2:$B$6);"больше всех";"") и протянуть до C6.
4. В D2 ввести =СЧЁТЕСЛИ($B$2:$B$6;B2) и протянуть до D6: формула показывает, сколько кружков посещает столько же учеников, сколько этот кружок (вместе с ним самим).
5. В E2 ввести =B3/B2, в E3 — =B4/B6*100.

1) Слова «больше всех» появляются только в строке кружка компьютерного дизайна: его посещают 50 учеников — больше, чем любой другой кружок.

2) Число 2 в столбце D стоит в строках кружков рисования и резьбы по дереву: каждый из них посещают 30 учеников.

3) Количество учеников кружка рисования составляет \(\frac{30}{50} = \frac{3}{5}\) количества учеников кружка компьютерного дизайна; в ячейке E2 эта часть записана десятичной дробью \(0{,}6\).

4) Количество учеников кружка лепки составляет \(\frac{14}{25} \cdot 100 = 56\) (%) от количества учеников кружка радиотехники; это число выводит ячейка E3.

Задание 667.

По таблице среднегодовых температур воздуха в десяти городах России нужно построить столбчатую диаграмму. Таблицу вводят на лист: в A1 — «Город», в B1 — «Температура, °C», ниже — названия городов и температуры (ячейки A2:B11).

\[\begin{array}{|l|c|} \hline \text{Город} & \text{Температура, }{}^{\circ}\text{C} \\ \hline \text{Екатеринбург} & 2{,}7 \\ \hline \text{Казань} & 4{,}1 \\ \hline \text{Краснодар} & 11{,}4 \\ \hline \text{Мурманск} & 0{,}3 \\ \hline \text{Нижний Новгород} & 4{,}4 \\ \hline \text{Оренбург} & 5{,}0 \\ \hline \text{Пермь} & 2{,}3 \\ \hline \text{Тула} & 5{,}2 \\ \hline \text{Хабаровск} & 2{,}2 \\ \hline \text{Челябинск} & 2{,}9 \\ \hline \end{array}\]

1. Выделить A1:B11 и вставить гистограмму.
2. Задать название диаграммы «Среднегодовая температура воздуха» и название вертикальной оси «Температура, °C», добавить подписи данных. Если названия городов не помещаются под столбцами, редактор сам пишет их наклонно.

Самая высокая среднегодовая температура среди этих городов — в Краснодаре (\(11{,}4\) °C), самая низкая — в Мурманске (\(0{,}3\) °C).

Задание 677.

В один из летних месяцев отдыхающие молодёжного спортивного лагеря распределились по возрасту так: 16 лет — 12 человек, 17 лет — 21, 18 лет — 20, 19 лет — 32, 20 лет — 20, 21 год — 20, 22 года — 19, 23 года — 24, 24 года — 15, 25 лет — 17. Нужно: 1) найти относительные частоты (в процентах); 2) найти моду и среднее значение полученных данных.

1. В A1 ввести «Возраст, лет», в B1 — «Количество отдыхающих», в C1 — «Относительная частота, %», в D1 — «Сумма возрастов»; в A2:A11 — возрасты от 16 до 25 лет, в B2:B11 — количества отдыхающих.
2. В A12 ввести «Всего», в B12 — =СУММ(B2:B11).
3. В C2 ввести =B2/$B$12*100, в D2 — =A2*B2; обе формулы протянуть до строки 11. В C12 и D12 — суммы столбцов: =СУММ(C2:C11) и =СУММ(D2:D11).
4. В ячейку B14 ввести =D12/B12 — среднее значение.
5. В E2 ввести =ЕСЛИ(B2=МАКС($B$2:$B$11);"мода";"") и протянуть до E11.

\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \begin{array}{c} \text{Возраст,} \\ \text{лет} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Количество} \\ \text{отдыхающих} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Относительная} \\ \text{частота, \%} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Сумма} \\ \text{возрастов} \end{array} \st \\ \hline 16 & 12 & 6 & 192 \\ \hline 17 & 21 & 10{,}5 & 357 \\ \hline 18 & 20 & 10 & 360 \\ \hline 19 & 32 & 16 & 608 \\ \hline 20 & 20 & 10 & 400 \\ \hline 21 & 20 & 10 & 420 \\ \hline 22 & 19 & 9{,}5 & 418 \\ \hline 23 & 24 & 12 & 552 \\ \hline 24 & 15 & 7{,}5 & 360 \\ \hline 25 & 17 & 8{,}5 & 425 \\ \hline \text{Всего} & 200 & 100 & 4092 \\ \hline \end{array}\]

1) Относительная частота — это отношение частоты к величине выборки, записанное в процентах; величина выборки — 200 отдыхающих. Например, для возраста 16 лет имеем: \(\frac{12}{200} \cdot 100 = 6\) (%). Все относительные частоты записаны в третьем столбце таблицы, их сумма равна 100 %.

2) Наибольшая частота — 32 — у возраста 19 лет, и формула в столбце E отмечает словом «мода» только эту строку. Значит, мода — 19 лет.

Среднее значение — это сумма возрастов всех отдыхающих, делённая на их количество. Сумма возрастов отдыхающих одного возраста равна произведению возраста на количество таких отдыхающих (столбец «Сумма возрастов»), поэтому в ячейке B14 получается \(\frac{4092}{200} = 20{,}46\) (года).

Задание 678.

Учащихся одной пятигорской школы опросили, сколько раз они летали на самолёте: ни разу не летали 280 учащихся, один раз — 92, два раза — 56, три раза — 38, четыре раза — 20, пять раз — 14. Нужно: 1) найти относительные частоты; 2) представить данные в виде столбчатой диаграммы; 3) найти моду и среднее значение; 4) пояснить, можно ли считать эту выборку репрезентативной для выводов относительно всех школьников города Пятигорска.

Лист заполняется так же, как в задании 677:
1. В A1:D1 ввести заголовки «Количество полётов», «Количество учащихся», «Относительная частота, %», «Всего полётов»; в A2:A7 — числа от 0 до 5, в B2:B7 — количества учащихся.
2. В A8 ввести «Всего», в B8 — =СУММ(B2:B7); в C2 — =B2/$B$8*100, в D2 — =A2*B2, обе формулы протянуть до строки 7; в C8 и D8 — суммы столбцов.
3. В ячейку B10 ввести =D8/B8 — среднее значение; в E2 — =ЕСЛИ(B2=МАКС($B$2:$B$7);"мода";"") и протянуть до E7.
4. Выделить B1:B7 и вставить гистограмму; в окне выбора данных диаграммы (оно открывается из контекстного меню) указать подписями горизонтальной оси числа A2:A7 — иначе редактор примет их за второй ряд данных. Добавить подписи данных и названия осей.

\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \begin{array}{c} \text{Количество} \\ \text{полётов} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Количество} \\ \text{учащихся} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Относительная} \\ \text{частота, \%} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Всего} \\ \text{полётов} \end{array} \st \\ \hline 0 & 280 & 56 & 0 \\ \hline 1 & 92 & 18{,}4 & 92 \\ \hline 2 & 56 & 11{,}2 & 112 \\ \hline 3 & 38 & 7{,}6 & 114 \\ \hline 4 & 20 & 4 & 80 \\ \hline 5 & 14 & 2{,}8 & 70 \\ \hline \text{Всего} & 500 & 100 & 468 \\ \hline \end{array}\]

1) Величина выборки — 500 учащихся. Например, для учащихся, которые ни разу не летали, имеем: \(\frac{280}{500} \cdot 100 = 56\) (%). Остальные относительные частоты записаны в третьем столбце таблицы.

2) Столбчатая диаграмма количества учащихся:

Относительная частота пропорциональна частоте, поэтому диаграмма относительных частот выглядит так же, меняется только шкала.

3) Наибольшая частота — 280 — у значения 0, поэтому мода — 0 полётов: больше половины опрошенных ни разу не летали на самолёте.

В столбце «Всего полётов» записано, сколько полётов совершили все учащиеся с данным количеством полётов, поэтому среднее значение (ячейка B10) равно \(\frac{468}{500} = 0{,}936\) (полёта на одного учащегося).

4) Нельзя. В репрезентативную выборку любой школьник города должен попадать с одинаковой вероятностью, а здесь опрошены учащиеся только одной школы: школьники других школ в выборку попасть не могли. Ученики одной школы обычно живут в одном районе и похожи образом жизни, поэтому их ответы могут заметно отличаться от ответов школьников других школ. Для выводов обо всех школьниках Пятигорска учащихся нужно выбирать случайным образом из всех школ города.

Задание 681.

У 24 легковых автомобилей измерили расход горючего на 100 км пути и получили ряд данных: 8 л, 9 л, \(7{,}5\) л, 9 л, 10 л, \(8{,}5\) л, 9 л, 8 л, \(7{,}5\) л, 9 л, 10 л, \(7{,}5\) л, 9 л, 10 л, \(7{,}5\) л, \(8{,}5\) л, 8 л, \(7{,}5\) л, \(8{,}5\) л, 10 л, \(8{,}5\) л, 9 л, 8 л, \(7{,}5\) л. Нужно: 1) составить частотную таблицу; 2) найти среднее значение и моду выборки; 3) построить гистограмму.

1. В A1 ввести «Расход, л», в A2:A25 — 24 числа ряда данных.
2. В C1:F1 ввести заголовки «Расход, л», «Частота», «Относительная частота, %», «Суммарный расход, л»; в C2:C6 — различные значения ряда: 7,5, 8, 8,5, 9, 10.
3. В D2 ввести =СЧЁТЕСЛИ($A$2:$A$25;C2) — сколько раз значение из ячейки C2 встречается в ряду данных; в E2 — =D2/$D$7*100; в F2 — =C2*D2. Все три формулы протянуть до строки 6, для столбца E задать формат с одним десятичным знаком.
4. В C7 ввести «Всего», в D7, E7 и F7 — суммы столбцов.
5. В D9 ввести =F7/D7 — среднее значение; то же число даёт формула =СРЗНАЧ(A2:A25).
6. В G2 ввести =ЕСЛИ(D2=МАКС($D$2:$D$6);"мода";"") и протянуть до G6.
7. Выделить D1:D6 и вставить гистограмму; подписями горизонтальной оси указать значения C2:C6.

1) Частотная таблица (относительные частоты округлены до десятых): \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \begin{array}{c} \text{Расход,} \\ \text{л} \end{array} & \text{Частота} & \begin{array}{c} \text{Относительная} \\ \text{частота, \%} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Суммарный} \\ \text{расход, л} \end{array} \st \\ \hline 7{,}5 & 6 & 25 & 45 \\ \hline 8 & 4 & 16{,}7 & 32 \\ \hline 8{,}5 & 4 & 16{,}7 & 34 \\ \hline 9 & 6 & 25 & 54 \\ \hline 10 & 4 & 16{,}7 & 40 \\ \hline \text{Всего} & 24 & 100 & 205 \\ \hline \end{array}\]

Например, для расхода 8 л относительная частота равна \(\frac{4}{24} \cdot 100 \approx 16{,}7\) (%).

2) Среднее значение — сумма всех 24 чисел ряда, делённая на 24; эта сумма — итог столбца «Суммарный расход». В ячейке D9 получается \(\frac{205}{24} \approx 8{,}54\) (л).

Наибольшая частота — 6 — у двух значений, поэтому формула в столбце G отмечает две строки: выборка имеет две моды — \(7{,}5\) л и 9 л. Функция МОДА выдала бы только одно из этих чисел.

3) Гистограмма:

Задание 682.

Во время тестирования по алгебре 25 учеников 9 класса сделали такое количество ошибок: 4, 3, 3, 1, 3, 4, 4, 5, 3, 0, 1, 4, 4, 4, 5, 3, 5, 4, 0, 4, 1, 4, 2, 2, 3. Нужно: 1) составить частотную таблицу; 2) найти среднее значение и моду выборки; 3) построить гистограмму.

Лист заполняется так же, как в задании 681:
1. В A2:A26 ввести 25 чисел ряда данных; в C1:F1 — заголовки «Количество ошибок», «Частота», «Относительная частота, %», «Всего ошибок»; в C2:C7 — числа от 0 до 5.
2. В D2 ввести =СЧЁТЕСЛИ($A$2:$A$26;C2), в E2 — =D2/$D$8*100, в F2 — =C2*D2; все три формулы протянуть до строки 7. В C8 ввести «Всего», в D8, E8 и F8 — суммы столбцов.
3. В D10 ввести =F8/D8 — среднее значение; в G2 — =ЕСЛИ(D2=МАКС($D$2:$D$7);"мода";"") и протянуть до G7.
4. Выделить D1:D7 и вставить гистограмму; подписями горизонтальной оси указать числа C2:C7.

1) Частотная таблица: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \begin{array}{c} \text{Количество} \\ \text{ошибок} \end{array} & \text{Частота} & \begin{array}{c} \text{Относительная} \\ \text{частота, \%} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Всего} \\ \text{ошибок} \end{array} \st \\ \hline 0 & 2 & 8 & 0 \\ \hline 1 & 3 & 12 & 3 \\ \hline 2 & 2 & 8 & 4 \\ \hline 3 & 6 & 24 & 18 \\ \hline 4 & 9 & 36 & 36 \\ \hline 5 & 3 & 12 & 15 \\ \hline \text{Всего} & 25 & 100 & 76 \\ \hline \end{array}\]

Например, для учеников, которые не сделали ни одной ошибки, относительная частота равна \(\frac{2}{25} \cdot 100 = 8\) (%).

2) Все ученики вместе сделали 76 ошибок (итог столбца «Всего ошибок»), поэтому среднее значение (ячейка D10) равно \(\frac{76}{25} = 3{,}04\) (ошибки).

Наибольшая частота — 9 — у значения 4, поэтому мода — 4 ошибки.

3) Гистограмма:

Задание 685.

Нужно составить частотную таблицу букв «а», «е», «и», «б», «н», «о», «р», «у», «ф», «я» в отрывке из стихотворения А. С. Пушкина и определить моду полученных данных:
Унылая пора! Очей очарованье!
Приятна мне твоя прощальная краса —
Люблю я пышное природы увяданье,
В багрец и в золото одетые леса,
В их сенях ветра шум и свежее дыханье,
И мглой волнистою покрыты небеса,
И редкий солнца луч, и первые морозы,
И отдалённые седой зимы угрозы.

1. Дважды щёлкнуть по ячейке A1 (или выделить её и нажать F2) и вставить скопированный отрывок клавишами Ctrl+V: в режиме редактирования весь текст попадает в одну ячейку.
2. В A3 ввести =ПОДСТАВИТЬ(СТРОЧН(A1);"ё";"е") — тот же текст, в котором заглавные буквы заменены строчными, а буква «ё» — буквой «е».
3. В C1 ввести «Буква», в D1 — «Частота»; в C2:C11 — буквы а, е, и, б, н, о, р, у, ф, я.
4. В D2 ввести =ДЛСТР($A$3)-ДЛСТР(ПОДСТАВИТЬ($A$3;C2;"")) и протянуть до D11. Функция ПОДСТАВИТЬ удаляет из текста все буквы, записанные в ячейке C2, а функция ДЛСТР считает количество символов текста, поэтому разность длин текста до и после удаления равна количеству этих букв.
5. В E2 ввести =ЕСЛИ(D2=МАКС($D$2:$D$11);"мода";"") и протянуть до E11.
6. Выделить C1:D11 и вставить гистограмму.

Заглавные буквы считаются вместе со строчными: «У» в слове «Унылая», «О» в слове «Очей», «И» в начале строк, а буква «ё» в слове «отдалённые» — вместе с буквой «е».

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Буква} & \text{а} & \text{е} & \text{и} & \text{б} & \text{н} & \text{о} & \text{р} & \text{у} & \text{ф} & \text{я} \\ \hline \text{Частота} & 17 & 23 & 12 & 3 & 14 & 22 & 14 & 5 & 0 & 7 \\ \hline \end{array}\]

Наибольшая частота — 23 — у буквы «е», и формула в столбце E отмечает только эту строку. Значит, мода полученных данных — буква «е». Функция МОДА здесь не поможет: данные нечисловые.

Если букву «ё» считать отдельной буквой (в ячейке A3 — формула =СТРОЧН(A1)), то у буквы «е» частота 22, как у буквы «о», и формула в столбце E отмечает обе строки: мод две — буквы «е» и «о».

Ответ: 666: 1) кружок компьютерного дизайна; 2) кружки рисования и резьбы по дереву; 3) \(\frac{3}{5}\); 4) 56 %; 677: 1) относительные частоты возрастов от 16 до 25 лет — \(6;\ 10{,}5;\ 10;\ 16;\ 10;\ 10;\ 9{,}5;\ 12;\ 7{,}5;\ 8{,}5\) (%); 2) мода — 19 лет, среднее значение — \(20{,}46\) года; 678: 1) относительные частоты для 0, 1, 2, 3, 4, 5 полётов — \(56;\ 18{,}4;\ 11{,}2;\ 7{,}6;\ 4;\ 2{,}8\) (%); 3) мода — 0 полётов, среднее значение — \(0{,}936\) полёта; 4) нельзя: опрошены учащиеся только одной школы, такая выборка не репрезентативна; 681: 1) значения \(7{,}5;\ 8;\ 8{,}5;\ 9;\ 10\) (л) встречаются соответственно 6, 4, 4, 6, 4 раза; 2) среднее значение — \(\frac{205}{24} \approx 8{,}54\) л, моды — \(7{,}5\) л и 9 л; 682: 1) 0, 1, 2, 3, 4, 5 ошибок сделали соответственно 2, 3, 2, 6, 9, 3 ученика; 2) среднее значение — \(3{,}04\) ошибки, мода — 4 ошибки; 685: буквы «а», «е», «и», «б», «н», «о», «р», «у», «ф», «я» встречаются соответственно 17, 23, 12, 3, 14, 22, 14, 5, 0, 7 раз, мода — буква «е».