Проектная работа 2 на странице 277, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

План доклада:
1. Симметрические многочлены.
2. Выражение через сумму и произведение переменных.
3. Теорема Виета и выражения от корней.
4. Симметричные системы уравнений.
5. Возвратные уравнения.

Презентация к докладу: «Симметрия в алгебре», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Симметрические многочлены. Цель работы — изучить, как симметрия выражений и уравнений помогает их преобразовывать и решать. Многочлен от \(x\) и \(y\) называют симметрическим, если он не меняется при замене \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\): таковы \(x + y\), \(xy\), \(x^2 + y^2\), \(x^2y + xy^2\). Многочлен \(x - y\) не симметрический — он переходит в \(y - x\), а его квадрат симметрический: \((y - x)^2 = (x - y)^2\).

2. Выражение через сумму и произведение переменных. Любой симметрический многочлен от \(x\) и \(y\) можно выразить через \(u = x + y\) и \(v = xy\). Например, \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v\), \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = u(u^2 - 3v)\), \((x - y)^2 = u^2 - 4v\). Пример: если \(x + y = 5\) и \(xy = 3\), то, не находя \(x\) и \(y\), получим \(x^2 + y^2 = 25 - 6 = 19\), \(x^3 + y^3 = 5 \cdot (25 - 9) = 80\), \((x - y)^2 = 25 - 12 = 13\).

3. Теорема Виета и выражения от корней. Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x^2 + bx + c = 0\), то \(x_1 + x_2 = -b\) и \(x_1x_2 = c\), поэтому любое симметрическое выражение от корней находят, не решая уравнения. Пример: у уравнения \(x^2 - 6x + 4 = 0\) дискриминант \(D = 36 - 16 = 20 > 0\), \(x_1 + x_2 = 6\), \(x_1x_2 = 4\). Тогда \(x_1^2 + x_2^2 = 36 - 8 = 28\), \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{6}{4} = 1{,}5\), \(x_1^3 + x_2^3 = 6 \cdot (36 - 12) = 144\). Так как \(x_1^2x_2^2 = 16\), по теореме, обратной теореме Виета, числа \(x_1^2\) и \(x_2^2\) — корни уравнения \(t^2 - 28t + 16 = 0\).

4. Симметричные системы уравнений. Если система не меняется при замене \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\), то вместе с решением \((a;\ b)\) она имеет решение \((b;\ a)\); такие системы решают заменой \(x + y = u\), \(xy = v\). Пример — система

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12. \end{cases}\)

Получаем \(u^2 - 2v = 25\), \(v = 12\), откуда \(u^2 = 49\), \(u = 7\) или \(u = -7\). По теореме, обратной теореме Виета, система \(x + y = 7\), \(xy = 12\) сводится к уравнению \(t^2 - 7t + 12 = 0\) с корнями 3 и 4, а система \(x + y = -7\), \(xy = 12\) — к уравнению \(t^2 + 7t + 12 = 0\) с корнями \(-3\) и \(-4\). Решения системы \((3;\ 4)\), \((4;\ 3)\), \((-3;\ -4)\), \((-4;\ -3)\) — это точки пересечения окружности \(x^2 + y^2 = 25\) и гиперболы \(y = \frac{12}{x}\), симметричные относительно прямой \(y = x\).

5. Возвратные уравнения. Уравнение \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0\), где \(a \ne 0\), с симметричными коэффициентами называют возвратным. Число 0 не является его корнем, поэтому обе части делят на \(x^2\) и делают замену \(t = x + \frac{1}{x}\), учитывая, что \(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2\). Пример: \(x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0\). Разделив на \(x^2\), получим \(\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 2\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1 = 0\), то есть \(t^2 - 2 - 2t - 1 = 0\), \(t^2 - 2t - 3 = 0\), откуда \(t = 3\) или \(t = -1\). Уравнение \(x + \frac{1}{x} = 3\) сводится к \(x^2 - 3x + 1 = 0\), откуда \(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\); уравнение \(x + \frac{1}{x} = -1\) — к \(x^2 + x + 1 = 0\), у которого \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), корней нет. Корни \(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\) и \(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) взаимно обратны: у возвратного уравнения вместе с корнем \(x\) корнем является и \(\frac{1}{x}\).

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что симметрия упрощает решение задач: симметрическое выражение от двух переменных выражается через их сумму и произведение, поэтому выражения от корней квадратного уравнения находят по теореме Виета, симметричные системы решают заменой \(x + y = u\), \(xy = v\), а возвратные уравнения четвёртой степени заменой \(t = x + \frac{1}{x}\) сводятся к квадратным.