Страница 261 номер 1028, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Стороны треугольника можно представить в виде

\(a,b,c = a,a + d,a + 2d = b - d,b,b + d\)
\(b = \dfrac{a + c}{2}\)

Радиус описанной окружности вокруг произвольного треугольника \(R = \frac{abc}{4S}\)

Радиус вписанной окружности в произвольный треугольник

\(r = \dfrac{2S}{a + b + c}\)

1) \(ac = 6Rr\)

Преобразуем доказываемое равенство; все преобразования равносильны:

\(ac = 6 \cdot \dfrac{abc}{4S} \cdot \dfrac{2S}{a + b + c}\)
\(ac = 6 \cdot \dfrac{abc}{2(a + b + c)}\)
\(ac = \dfrac{3abc}{a + b + c}\)
\(ac = \dfrac{3ac \cdot \frac{a + c}{2}}{a + c + \dfrac{a + c}{2}}\)
\(ac = \dfrac{3ac \cdot (a + c)}{2} \cdot \dfrac{2}{3(a + c)}\)
\(ac = ac\)

Тождество доказано

2) Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \frac{1}{2}ab\)
\(d = r\) – доказываемое равенство; преобразуем его, все преобразования равносильны:
\(d = \dfrac{2S}{a + b + c}\)
\(d = \dfrac{ab}{a + b + c}\)
\(d = \dfrac{a(a + d)}{a + a + d + a + 2d}\)
\(d = \dfrac{a(a + d)}{3a + 3d}\)
\(d = \frac{a}{3}\) – искомое тождество

Т.к. треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора

\(c^{2} = a^{2} + b^{2}\)
\((a + 2d)^{2} = a^{2} + (a + d)^{2}\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2}\)
\(a^{2} - 2ad - 3d^{2} = 0\)
\((a + d)(a - 3d) = 0\)
\(a = - d\) не подходит по смыслу, т.к. длина стороны не может быть отрицательной.
\(a = 3d\)

Подставим полученное выражение в искомое тождество

\(d = \dfrac{a}{3} \Rightarrow d = \dfrac{3d}{3} \Rightarrow d = d\)

Тождество доказано, значит, \(d = r\)

3) Т.к. один из углов 120, то два других в сумме имеют \(180 - 120 = 60\) градусов.

Напротив бОльшего угла в треугольнике – бОльшая сторона треугольника.

По теореме косинусов \(c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos 120^\circ\)

\(c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \left( - \dfrac{1}{2} \right)\)
\(c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab\)
\((a + 2d)^{2} = a^{2} + (a + d)^{2} + a(a + d)\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2} + a^{2} + ad\)
\(2a^{2} - ad - 3d^{2} = 0\)
\(2a^{2} + 2ad - 3ad - 3d^{2} = 0\)
\(2a(a + d) - 3d(a + d) = 0\)
\((a + d)(2a - 3d) = 0\)
\(a = - d\) - не подходит по смыслу
\(2a = 3d \Rightarrow a = \dfrac{3}{2}d\)

Первая сторона \(a = \frac{3}{2}d\)

Вторая сторона \(b = a + d = \frac{3}{2}d + d = \frac{5}{2}d\)

Третья сторона \(c = a + 2d = \frac{3}{2}d + 2d = \frac{7}{2}d\)

Их соотношение равно \(\frac{3}{2}d:\frac{5}{2}d:\frac{7}{2}d = 3:5:7\)

Утверждение доказано