Дружим с компьютером § 8 на странице 283, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Пусть таблица состоит из \(n\) столбцов: в первой строке записаны значения аргумента \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), во второй — соответствующие им значения функции \(y_1, y_2, \ldots, y_n\). Функция, заданная таблицей, определена только при тех значениях аргумента, которые записаны в таблице. Поэтому каждый искомый промежуток — это несколько идущих подряд столбцов, и алгоритм называет первое и последнее значения аргумента в них: «функция положительна при \(x\) от \(x_j\) до \(x_i\)».

Входные данные обоих алгоритмов: \(n\) — количество столбцов таблицы, \(n \geqslant 2\); значения аргумента \(x_1, x_2, \ldots, x_n\); значения функции \(y_1, y_2, \ldots, y_n\).

Алгоритм поиска промежутков знакопостоянства (выходные данные — нули функции, промежутки, на которых функция положительна, и промежутки, на которых она отрицательна):
1. Ввести \(n\), \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) и \(y_1, y_2, \ldots, y_n\).
2. Если \(x_1 < x_2 < \ldots < x_n\), то выполнить шаги 3—6, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Для каждого номера \(i\) от 1 до \(n\) выполнить шаги 4—6.
4. Если \(y_i = 0\), то вывести «\(x_i\) — нуль функции» и перейти к следующему номеру \(i\).
5. Если \(i = 1\), или \(y_{i-1} = 0\), или числа \(y_{i-1}\) и \(y_i\) разных знаков, то в столбце с номером \(i\) начинается новый промежуток: запомнить \(j = i\).
6. Если \(i = n\), или \(y_{i+1} = 0\), или числа \(y_i\) и \(y_{i+1}\) разных знаков, то в столбце с номером \(i\) промежуток заканчивается: вывести «функция положительна при \(x\) от \(x_j\) до \(x_i\)», если \(y_i > 0\), или «функция отрицательна при \(x\) от \(x_j\) до \(x_i\)», если \(y_i < 0\).

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Когда значения аргумента в таблице возрастают, достаточно сравнивать соседние столбцы: если \(y_j < y_{j+1} < \ldots < y_i\), то из любых двух столбцов с номерами от \(j\) до \(i\) правому соответствует большее значение функции, и функция возрастает при \(x\) от \(x_j\) до \(x_i\). Поэтому для каждого номера \(i\) от 2 до \(n\) вычисляют разность \(d_i = y_i - y_{i-1}\): при \(d_i > 0\) значение функции от столбца с номером \(i - 1\) к столбцу с номером \(i\) увеличивается, при \(d_i < 0\) — уменьшается, при \(d_i = 0\) — не меняется. Промежутки возрастания — это группы идущих подряд положительных разностей, промежутки убывания — группы отрицательных, и ищут их так же, как промежутки знакопостоянства.

Алгоритм поиска промежутков возрастания и убывания (выходные данные — промежутки возрастания и промежутки убывания функции):
1. Ввести \(n\), \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) и \(y_1, y_2, \ldots, y_n\).
2. Если \(x_1 < x_2 < \ldots < x_n\), то выполнить шаги 3—6, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Для каждого номера \(i\) от 2 до \(n\) вычислить \(d_i = y_i - y_{i-1}\).
4. Для каждого номера \(i\) от 2 до \(n\), при котором \(d_i \ne 0\), выполнить шаги 5—6.
5. Если \(i = 2\), или \(d_{i-1} = 0\), или числа \(d_{i-1}\) и \(d_i\) разных знаков, то в столбце с номером \(i - 1\) начинается новый промежуток: запомнить \(j = i - 1\).
6. Если \(i = n\), или \(d_{i+1} = 0\), или числа \(d_i\) и \(d_{i+1}\) разных знаков, то в столбце с номером \(i\) промежуток заканчивается: вывести «функция возрастает при \(x\) от \(x_j\) до \(x_i\)», если \(d_i > 0\), или «функция убывает при \(x\) от \(x_j\) до \(x_i\)», если \(d_i < 0\).

Проверим оба алгоритма на функции, заданной первыми двумя строками таблицы; в третьей строке записаны знаки значений функции, в четвёртой — разности \(d_i\):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & -2 & -3 & 1 & 5 & 2 \\ \hline \text{знак } y & + & + & 0 & - & - & + & + & + \\ \hline d_i & & -3 & -1 & -2 & -1 & 4 & 4 & -3 \\ \hline \end{array}\]

Значения аргумента возрастают, поэтому данные допустимы. Первый алгоритм находит нуль функции \(x = -1\) и промежутки знакопостоянства: функция положительна при \(x\) от \(-3\) до \(-2\) и при \(x\) от \(2\) до \(4\), отрицательна при \(x\) от \(0\) до \(1\). Между столбцами \(x = 1\) и \(x = 2\) нуля в таблице нет, но числа \(-3\) и \(1\) разных знаков, поэтому на шаге 6 промежуток отрицательных значений заканчивается при \(x = 1\), а на шаге 5 при \(x = 2\) начинается новый промежуток. Второй алгоритм находит, что функция убывает при \(x\) от \(-3\) до \(1\) (разности \(-3\), \(-1\), \(-2\), \(-1\) отрицательны), возрастает при \(x\) от \(1\) до \(3\) (разности \(4\), \(4\) положительны) и убывает при \(x\) от \(3\) до \(4\).

Оба алгоритма сравнивают соседние столбцы, поэтому столбцы таблицы должны быть расположены в порядке возрастания значений аргумента: \(x_1 < x_2 < \ldots < x_n\). Только тогда соседние столбцы — это соседние точки графика, идущие подряд столбцы со значениями функции одного знака образуют промежуток, а увеличение значений функции слева направо означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если значения аргумента записаны вразброс, столбцы сначала переставляют в порядке возрастания значений аргумента; на шаге 2 алгоритмы это условие проверяют.

Для других способов задания функции такой алгоритм составить можно: сначала по функции составляют таблицу её значений, а затем выполняют те же шаги. Для функции, заданной формулой, значения вычисляют с малым шагом (например, в табличном редакторе); для функции, заданной графиком, снимают с графика координаты его точек. Но промежутки при этом находятся лишь приближённо: алгоритм «видит» только значения в столбцах таблицы, а между соседними столбцами функция может поменять знак или перейти от убывания к возрастанию. Например, для функции \(y = x^2 - x\) таблица с шагом 1 даёт при \(x = -1\), \(0\), \(1\), \(2\) значения \(2\), \(0\), \(0\), \(2\) и не показывает, что между нулями \(0\) и \(1\) функция отрицательна: \(0{,}5^2 - 0{,}5 = -0{,}25\). Чем меньше шаг, тем точнее результат. Точные промежутки знакопостоянства функции, заданной формулой, находят, решая уравнение \(f(x) = 0\) и неравенства \(f(x) > 0\), \(f(x) < 0\), а возрастание и убывание такой функции на промежутке доказывают по определению.

Ответ: столбцы таблицы должны быть расположены в порядке возрастания значений аргумента; для функции, заданной формулой или графиком, такие алгоритмы составить можно — их применяют к таблице её значений, но промежутки при этом находятся приближённо.

В задаче 284 в раствор массой 200 г, содержащий 12 % соли, добавили 20 г соли. Нужно найти, каким стало процентное содержание соли в новом растворе.

Задача в общем виде: в раствор массой \(a\) г, содержащий \(p\) % соли, добавили \(m\) г соли; каким стало процентное содержание соли в новом растворе?
Математическая модель: в растворе содержится \(b = \frac{a \cdot p}{100}\) г соли. После добавления соли её масса равна \(b + m\) г, а масса раствора — \(a + m\) г, поэтому процентное содержание соли в новом растворе равно \(q = \frac{b + m}{a + m} \cdot 100\), или, если подставить \(b\),

\(q = \dfrac{\frac{a \cdot p}{100} + m}{a + m} \cdot 100 = \dfrac{a \cdot p + 100 \cdot m}{a + m}.\)

Входные данные: \(a\) — масса раствора, \(a > 0\); \(p\) — процентное содержание соли в нём, \(0 < p < 100\); \(m\) — масса добавленной соли, \(m > 0\).
Выходные данные: \(q\) — процентное содержание соли в новом растворе, %.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a\), \(p\) и \(m\).
2. Если \(a > 0\), \(0 < p < 100\) и \(m > 0\), то выполнить шаги 3—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить массу соли в растворе: \(b = \frac{a \cdot p}{100}\).
4. Вычислить массу соли \(b + m\) и массу раствора \(a + m\) после добавления соли.
5. Вычислить \(q = \frac{b + m}{a + m} \cdot 100\) и вывести \(q\).

Для чисел задачи: \(a = 200\), \(p = 12\), \(m = 20\) — данные допустимы.

\(b = \frac{200 \cdot 12}{100} = 24\) (г) — масса соли в растворе.
\(24 + 20 = 44\) (г) — масса соли в новом растворе.
\(200 + 20 = 220\) (г) — масса нового раствора.
\(q = \frac{44}{220} \cdot 100 = 20\) (%) — процентное содержание соли в новом растворе.

По формуле модели получается то же: \(q = \frac{200 \cdot 12 + 100 \cdot 20}{200 + 20} = \frac{4400}{220} = 20\).

Ответ: \(q = \frac{a \cdot p + 100 \cdot m}{a + m}\); процентное содержание соли в новом растворе — 20 %.