Дружим с компьютером § 15 на странице 285, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

По формуле сложных процентов \(a_n = a_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\) величина, равная \(a_0\), за каждый год увеличивается в \(1 + \frac{p}{100}\) раз. Этот множитель находят устно (при \(p = 8\) он равен \(1{,}08\), при \(p = 20\) — \(1{,}2\)), а на калькуляторе либо \(n\) раз подряд умножают на него число \(a_0\), либо возводят множитель в степень \(n\) и результат умножают на \(a_0\).

Первый способ — для любого калькулятора:
1. Набрать \(a_0\).
2. Нажать ×, набрать множитель и нажать = — на экране значение величины в конце первого года.
3. Повторить шаг 2 ещё \(n - 1\) раз: после каждого нажатия = на экране значение в конце следующего года, после последнего — \(a_n\).

Второй способ — в инженерном виде калькулятора, где есть клавиша возведения в степень x^y:
1. Набрать множитель, нажать x^y, набрать показатель \(n\) и нажать = — на экране \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\).
2. Нажать ×, набрать \(a_0\) и нажать = — на экране \(a_n\).

Задача 523.

Нужно найти, сколько денег будет на счёте через три года, если вкладчик положил в банк \(50\,000\) р. под 8 % годовых.

Здесь \(a_0 = 50\,000\), \(p = 8\), \(n = 3\), множитель \(1 + \frac{8}{100} = 1{,}08\). Первым способом: набрать 50000, а затем три раза повторить: нажать ×, набрать 1,08, нажать =. На экране по очереди появляются суммы на счёте в конце первого, второго и третьего годов:

\(a_1 = 50\,000 \cdot 1{,}08 = 54\,000 \text{ (р.)};\)
\(a_2 = 54\,000 \cdot 1{,}08 = 58\,320 \text{ (р.)};\)
\(a_3 = 58\,320 \cdot 1{,}08 = 62\,985{,}6 \text{ (р.)}.\)

Задача 524.

Нужно найти, сколько единиц изделия завод изготовит в этом году, если четыре года назад он изготавливал \(10\,000\) единиц в год, а объём производства ежегодно увеличивался на 20 %.

Здесь \(a_0 = 10\,000\), \(p = 20\), \(n = 4\) (с того года прошло четыре года), множитель \(1 + \frac{20}{100} = 1{,}2\). Вторым способом: набрать 1,2, нажать x^y, набрать 4, нажать = — на экране 2,0736; затем нажать ×, набрать 10000, нажать = — на экране 20736.

\(a_4 = 10\,000 \cdot 1{,}2^4 = 10\,000 \cdot 2{,}0736 = 20\,736 \text{ (единиц)}.\)

Ответ: 523: через три года на счёте будет \(62\,985{,}6\) р.; 524: в этом году будет изготовлено \(20\,736\) единиц изделия.

Задачи на процентные расчёты — номера 522–550; в номерах 551–554 процентов нет (в них оценивают значения выражений, исследуют квадратный трёхчлен, решают системы уравнений и логическую задачу). Задачи с одинаковой математической моделью решают одним алгоритмом — меняются только входные данные. Номера 522–550 делятся на 11 групп — это и есть список типовых задач:
1. Значение величины после нескольких лет роста на одно и то же число процентов — 522, 523, 524.
2. Начальное значение величины по её значению после нескольких одинаковых изменений — 525, 526.
3. Процент, на который величина дважды изменилась одинаково, — 527, 528, 550.
4. Процентное содержание вещества после того, как к смеси добавили вещество или из неё испарили воду, — 529, 530.
5. Целое по частям, заданным в процентах, — 531, 532, 533, 534.
6. Масса воды, которую надо добавить, чтобы процентное содержание вещества стало заданным, — 535.
7. Величина, которая изменилась на столько процентов, сколько в ней единиц, — 536, 537.
8. Изменение производительности труда в процентах — 538, 539.
9. Массы двух растворов, из которых составляют смесь, — 540, 541.
10. Проценты двух последовательных изменений величины, связанные условием, — 542, 543, 544, 545.
11. Массы частей смеси (сплава, раствора), если после добавления одной из частей процентное содержание вещества изменилось на заданное число единиц, — 546, 547, 548, 549.

Задачи 522, 523, 524.

Задачи 523, 524 решены на калькуляторе; в задаче 522 нужно найти, сколько денег будет на счёте через год, если положить в банк \(20\,000\) р. под 6 % годовых.

Задача в общем виде: величина, равная \(a_0\), каждый год увеличивается на \(p\) %; чему она будет равна через \(n\) лет?
Математическая модель: формула сложных процентов \(a_n = a_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\).

Входные данные: \(a_0\) — начальное значение, \(a_0 > 0\); \(p\) — ежегодный прирост в процентах, \(p > 0\); \(n\) — число лет, натуральное число.
Выходные данные: \(a_n\) — значение величины через \(n\) лет.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a_0\), \(p\), \(n\).
2. Если \(a_0 > 0\), \(p > 0\) и \(n\) — натуральное число, то выполнить шаги 3—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить \(k = 1 + \frac{p}{100}\) и положить \(a = a_0\).
4. Повторить \(n\) раз: умножить \(a\) на \(k\).
5. Вывести \(a\) — это \(a_n\).

Для чисел задачи 522: \(a_0 = 20\,000\), \(p = 6\), \(n = 1\), \(k = 1 + \frac{6}{100} = 1{,}06\), \(a_1 = 20\,000 \cdot 1{,}06 = 21\,200\) (р.) — столько денег будет на счёте через год.

Задачи 525, 526.

Нужно найти первоначальную цену: 525 — стола, который после двух снижений цены на 10 % стал стоить 3240 р.; 526 — люстры, которая после двух повышений цены на 25 % стала стоить 1250 р.

Задача в общем виде: величина \(n\) раз подряд повышалась (или снижалась) на \(p\) % и стала равной \(a_n\); каким было её начальное значение \(a_0\)?
Математическая модель: та же формула сложных процентов \(a_n = a_0 k^n\), где \(k = 1 + \frac{p}{100}\) при повышении и \(k = 1 - \frac{p}{100}\) при снижении; неизвестно здесь начальное значение: \(a_0 = \frac{a_n}{k^n}\).

Входные данные: \(a_n\) — значение после изменений, \(a_n > 0\); \(p\) — процент каждого изменения, \(p > 0\), а при снижении ещё и \(p < 100\); \(n\) — число изменений, натуральное число; вид изменения — повышение или снижение.
Выходные данные: \(a_0\) — начальное значение.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a_n\), \(p\), \(n\) и вид изменения.
2. Если изменение — повышение, то \(k = 1 + \frac{p}{100}\), иначе \(k = 1 - \frac{p}{100}\).
3. Если \(a_n > 0\), \(p > 0\), \(k > 0\) и \(n\) — натуральное число, то выполнить шаги 4—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
4. Положить \(a = a_n\) и \(n\) раз разделить \(a\) на \(k\).
5. Вывести \(a\) — это \(a_0\).

Для чисел задачи 525: \(a_2 = 3240\), \(p = 10\), \(n = 2\), изменение — снижение, \(k = 1 - \frac{10}{100} = 0{,}9\), \(a_0 = \frac{3240}{0{,}9^2} = \frac{3240}{0{,}81} = 4000\) (р.) — первоначальная цена стола.

Задачи 527, 528, 550.

Нужно найти: 527 — средний ежегодный процент прироста населения города, которое за два года выросло с \(40\,000\) до \(44\,100\) жителей; 528 — на сколько процентов каждый раз снижали цену кресла, если после двух снижений на одно и то же число процентов она упала с 1600 р. до 1156 р.; 550 — сколько килограммов жидкости отливали каждый раз, если из ёмкости с 12 кг кислоты дважды отливали одно и то же количество жидкости, каждый раз доливали водой до прежнего уровня и получили 25-процентный раствор.

Задача в общем виде: величина дважды изменилась на одно и то же число процентов и из \(a_0\) стала \(a_2\); на сколько процентов она изменялась каждый раз?
Математическая модель: если при каждом изменении величина умножается на положительное число \(k\), то \(a_2 = a_0 k^2\), откуда \(k = \sqrt{\frac{a_2}{a_0}}\); при \(k > 1\) величина каждый раз повышалась на \((k - 1) \cdot 100\) %, при \(k < 1\) — снижалась на \((1 - k) \cdot 100\) %. В задаче 550 так изменяется масса кислоты: каждый раз отливают одну и ту же долю жидкости, а значит, и одну и ту же долю кислоты, которая в ней есть.

Входные данные: \(a_0\) и \(a_2\) — значения величины до и после двух изменений, \(a_0 > 0\), \(a_2 > 0\).
Выходные данные: на сколько процентов величина изменялась каждый раз и вид изменения — повышение или снижение.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a_0\) и \(a_2\).
2. Если \(a_0 > 0\) и \(a_2 > 0\), то выполнить шаги 3—4, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить \(k = \sqrt{\frac{a_2}{a_0}}\).
4. Если \(k > 1\), то вывести «повышение на \((k - 1) \cdot 100\) %»; если \(k < 1\), то вывести «снижение на \((1 - k) \cdot 100\) %»; если \(k = 1\), то вывести «величина не изменилась».

Для чисел задачи 550: жидкость каждый раз доливают до прежнего уровня, поэтому после каждого доливания в ёмкости снова 12 кг жидкости; кислоты вначале \(a_0 = 12\) кг, а в конце \(a_2 = \frac{12 \cdot 25}{100} = 3\) (кг). Тогда \(k = \sqrt{\frac{3}{12}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), \(k < 1\), и масса кислоты каждый раз уменьшалась на \((1 - 0{,}5) \cdot 100 = 50\) (%). Значит, каждый раз отливали половину жидкости, то есть \(\frac{12 \cdot 50}{100} = 6\) (кг).

Задачи 529, 530.

Нужно найти, каким стало процентное содержание: 529 — соли в 300 г 6-процентного раствора, из которого испарили 50 г воды; 530 — серебра в сплаве массой 600 г, который содержал 12 % серебра, после того как к нему добавили 60 г серебра.

Задача в общем виде: смесь (раствор или сплав) массой \(a\) содержит \(p\) % вещества; к ней добавили \(u\) единиц массы этого вещества и испарили из неё \(v\) единиц массы воды. Каким стало процентное содержание вещества?
Математическая модель: масса вещества в новой смеси \(b = \frac{a \cdot p}{100} + u\), масса новой смеси \(m = a + u - v\), а процентное содержание вещества — процентное отношение этих чисел: \(q = \frac{b}{m} \cdot 100\) (%).

Входные данные: \(a\) — масса смеси, \(a > 0\); \(p\) — процентное содержание вещества, \(0 < p < 100\); \(u\) и \(v\) — массы добавленного вещества и испарённой воды, \(u \geqslant 0\), \(v \geqslant 0\) (в задаче 529 \(u = 0\), в задаче 530 \(v = 0\)).
Выходные данные: \(q\) — процентное содержание вещества в новой смеси.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a\), \(p\), \(u\), \(v\).
2. Вычислить \(b = \frac{a \cdot p}{100} + u\) и \(m = a + u - v\).
3. Если \(a > 0\), \(0 < p < 100\), \(u \geqslant 0\), \(v \geqslant 0\) и \(m > b\) (испарили меньше воды, чем её было), то вычислить \(q = \frac{b}{m} \cdot 100\) и вывести \(q\), иначе вывести сообщение «неверные данные».

Для чисел задачи 529: \(a = 300\), \(p = 6\), \(u = 0\), \(v = 50\), \(b = \frac{300 \cdot 6}{100} + 0 = 18\) (г) — масса соли, \(m = 300 + 0 - 50 = 250\) (г) — масса нового раствора, \(q = \frac{18}{250} \cdot 100 = 7{,}2\) (%) — процентное содержание соли.

Задачи 531, 532, 533, 534.

Нужно найти: 531 — сколько деревьев в саду, если яблони составляют 42 % всех деревьев, а вишен на 48 больше, чем яблонь; 532 — сколько метров кабеля проложили за два дня, если в первый день проложили 56 % кабеля, а во второй — на 132 м меньше, чем в первый; 533 — сколько страниц в книге, если в первый день прочитано 25 % книги, во второй — 72 % оставшихся страниц, а в третий — остальные 84 страницы; 534 — сколько килограммов мороженого завезли в магазин, если шоколадное составляет 45 % всей массы, клубничное — 40 % массы шоколадного, а ванильное — остальные 111 кг.

Задача в общем виде: целое разделено на части, которые заданы в процентах от целого или от другой части; известно число \(c\) — разность двух частей или последняя часть. Чему равно целое \(x\)?
Математическая модель: если число \(c\) составляет \(r\) % целого, то целое — это число, \(r\) % которого равны \(c\): \(x = \frac{c \cdot 100}{r}\) (нахождение числа по его процентам).

Входные данные: проценты, которыми заданы части, и число \(c\), \(c > 0\).
Выходные данные: \(x\) — целое.

Алгоритм решения:
1. Ввести проценты частей и число \(c\).
2. Выразить каждую часть в процентах от целого: часть, равная \(s\) % от другой части (или от остатка), которая составляет \(t\) % целого, составляет \(\frac{s \cdot t}{100}\) % целого; последняя часть составляет 100 % минус сумма процентов остальных частей.
3. Найти \(r\) — сколько процентов целого составляет число \(c\) (разность процентов двух частей или процент последней части).
4. Если \(c > 0\) и \(r > 0\), то вычислить \(x = \frac{c \cdot 100}{r}\) и вывести \(x\), иначе вывести сообщение «неверные данные».

Для чисел задачи 533: после первого дня осталось \(100 - 25 = 75\) (%) книги, во второй день прочитано \(\frac{72 \cdot 75}{100} = 54\) (%) книги, в третий — \(100 - 25 - 54 = 21\) (%) книги, то есть \(r = 21\), \(c = 84\) и \(x = \frac{84 \cdot 100}{21} = 400\) (страниц).

Задача 535.

Нужно найти, сколько пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, которая содержит 5 % соли, чтобы соли в ней стало 2 %.

Задача в общем виде: раствор массой \(a\) содержит \(p\) % вещества; сколько воды \(w\) надо добавить, чтобы процентное содержание вещества стало равным \(q\) %? Эта задача обратна задачам 529, 530: известно новое процентное содержание, а неизвестна масса добавленной воды.
Математическая модель: при доливании воды масса вещества \(b = \frac{a \cdot p}{100}\) не меняется и в новом растворе составляет \(q\) %, поэтому масса нового раствора равна \(\frac{b \cdot 100}{q}\), а \(w = \frac{b \cdot 100}{q} - a\).

Входные данные: \(a\) — масса раствора, \(a > 0\); \(p\) и \(q\) — процентное содержание вещества до и после доливания воды, \(0 < q < p < 100\).
Выходные данные: \(w\) — масса воды, которую надо добавить.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a\), \(p\), \(q\).
2. Если \(a > 0\) и \(0 < q < p < 100\), то вычислить \(b = \frac{a \cdot p}{100}\) и \(w = \frac{b \cdot 100}{q} - a\) и вывести \(w\), иначе вывести сообщение «неверные данные».

Для чисел задачи: \(b = \frac{40 \cdot 5}{100} = 2\) (кг) — масса соли, \(\frac{2 \cdot 100}{2} = 100\) (кг) — масса нового раствора, \(w = 100 - 40 = 60\) (кг) — столько пресной воды надо добавить.

Задачи 536, 537.

Нужно найти: 536 (задача Безу) — за сколько пистолей купили коня, если его продали за 24 пистоля и потеряли при этом столько процентов, сколько пистолей стоил конь; 537 — оптовую цену товара, если его продают в розницу по 11 р., а прибыль в процентах равна оптовой цене в рублях.

Задача в общем виде: величину \(x\) уменьшили (536) или увеличили (537) на \(x\) % и получили число \(c\). Чему равно \(x\)?
Математическая модель: \(x\) % от \(x\) — это \(\frac{x \cdot x}{100}\), поэтому \(x - \frac{x^2}{100} = c\) при уменьшении и \(x + \frac{x^2}{100} = c\) при увеличении. После умножения обеих частей на 100 получаются квадратные уравнения \(x^2 - 100x + 100c = 0\) и \(x^2 + 100x - 100c = 0\).

Входные данные: \(c\) — значение после изменения, \(c > 0\); вид изменения — уменьшение или увеличение.
Выходные данные: \(x\) — первоначальное значение (одно или два).

Алгоритм решения:
1. Ввести \(c\) и вид изменения.
2. Если \(c \leqslant 0\), то вывести сообщение «неверные данные» и закончить работу.
3. Если величину увеличили, то вычислить \(D = 100^2 + 400c\) и \(x = \frac{-100 + \sqrt{D}}{2}\) и вывести \(x\) (второй корень уравнения отрицателен).
4. Если величину уменьшили, то вычислить \(D = 100^2 - 400c\); если \(D < 0\), то вывести «решений нет», иначе вычислить \(x_1 = \frac{100 - \sqrt{D}}{2}\), \(x_2 = \frac{100 + \sqrt{D}}{2}\) и вывести оба значения (при \(D = 0\) они совпадают).

Для чисел задачи 536: \(c = 24\), величину уменьшили, \(D = 10\,000 - 400 \cdot 24 = 400\), \(x_1 = \frac{100 - 20}{2} = 40\), \(x_2 = \frac{100 + 20}{2} = 60\) — коня купили за 40 или за 60 пистолей.

Задачи 538, 539.

Нужно найти: 538 — на сколько процентов выросла производительность труда рабочего, если на старом станке он изготавливал деталь за 20 мин, а на новом — за 8 мин; 539 — на сколько процентов будет выполняться план, если время изготовления детали уменьшилось с 12 мин до 10 мин, а норму времени не изменили.

Задача в общем виде: время изготовления одной детали изменилось с \(t_1\) мин до \(t_2\) мин. Сколько процентов прежней производительности составляет новая (на столько процентов выполняется план, рассчитанный по прежней норме) и на сколько процентов изменилась производительность?
Математическая модель: прежде за минуту изготавливали \(\frac{1}{t_1}\) детали, теперь — \(\frac{1}{t_2}\) детали; \(\frac{1}{t_2} : \frac{1}{t_1} = \frac{t_1}{t_2}\), поэтому новая производительность составляет \(P = \frac{t_1}{t_2} \cdot 100\) (%) прежней — это процентное отношение двух чисел, а изменилась производительность на \(P - 100\) процентов.

Входные данные: \(t_1\) и \(t_2\) — прежнее и новое время изготовления одной детали, \(t_1 > 0\), \(t_2 > 0\).
Выходные данные: \(P\) — на сколько процентов выполняется план; на сколько процентов выросла или снизилась производительность.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(t_1\) и \(t_2\).
2. Если \(t_1 > 0\) и \(t_2 > 0\), то выполнить шаги 3—4, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Вычислить \(P = \frac{t_1}{t_2} \cdot 100\) и вывести \(P\).
4. Если \(P > 100\), то вывести «производительность выросла на \(P - 100\) %»; если \(P < 100\), то вывести «производительность снизилась на \(100 - P\) %»; если \(P = 100\), то вывести «производительность не изменилась».

Для чисел задачи 538: \(P = \frac{20}{8} \cdot 100 = 250\) (%), \(250 > 100\), поэтому производительность выросла на \(250 - 100 = 150\) (%).

Задачи 540, 541.

Нужно найти, сколько взяли каждого раствора: 540 — 30-процентного и 10-процентного раствора соляной кислоты, если получили 800 г 15-процентного раствора; 541 — молока жирностью 2 % и 5 %, чтобы получить 18 кг молока жирностью 3 %.

Задача в общем виде: смешивают два раствора, в которых процентное содержание вещества равно \(p_1\) % и \(p_2\) %, и получают \(m\) единиц массы раствора с процентным содержанием вещества \(p\) %. Сколько взяли каждого раствора?
Математическая модель: если первого раствора взяли \(x\), то второго — \(m - x\), а масса вещества в смеси равна сумме его масс в двух растворах: \(\frac{p_1 \cdot x}{100} + \frac{p_2(m - x)}{100} = \frac{p \cdot m}{100}\). Отсюда \(p_1 x + p_2 m - p_2 x = pm\) и \(x = \frac{m(p - p_2)}{p_1 - p_2}\).

Входные данные: \(p_1\), \(p_2\), \(p\) — процентное содержание вещества в растворах и в смеси, \(p_1 \ne p_2\), число \(p\) лежит между \(p_1\) и \(p_2\); \(m\) — масса смеси, \(m > 0\).
Выходные данные: \(x\) и \(m - x\) — массы первого и второго растворов.

Алгоритм решения:
1. Ввести \(p_1\), \(p_2\), \(p\), \(m\).
2. Если \(m > 0\), \(p_1 \ne p_2\) и число \(p\) лежит строго между \(p_1\) и \(p_2\), то вычислить \(x = \frac{m(p - p_2)}{p_1 - p_2}\) и вывести \(x\) и \(m - x\), иначе вывести сообщение «неверные данные».

Для чисел задачи 540: \(p_1 = 30\), \(p_2 = 10\), \(p = 15\), \(m = 800\), \(x = \frac{800 \cdot (15 - 10)}{30 - 10} = \frac{4000}{20} = 200\) (г) — масса 30-процентного раствора, \(800 - 200 = 600\) (г) — масса 10-процентного.

Задачи 542, 543, 544, 545.

Нужно найти, на сколько процентов изменялась величина: 542 — цена одеяла после двух снижений упала с 600 р. до 432 р., причём во второй раз процент снижения был в 2 раза больше, чем в первый; 543 — цену товара в 200 р. сначала повысили, а потом снизили на одно и то же число процентов, и она стала равной 192 р.; 544 — вклад \(40\,000\) р. за два года вырос до \(46\,640\) р., причём во второй год банковский процент был на 4 % больше, чем в первый (найти процент первого года); 545 — то же для вклада \(10\,000\) р., который вырос до \(11\,880\) р., когда во второй год процент был на 2 % меньше, чем в первый.

Задача в общем виде: величина, равная \(a_0\), изменилась дважды — сначала на \(p_1\) %, потом на \(p_2\) % (каждый раз повысилась или снизилась) — и стала равной \(a_2\); условие задачи выражает \(p_2\) через \(p_1\). Найти \(p_1\) и \(p_2\).
Математическая модель: \(a_0 \cdot k_1 \cdot k_2 = a_2\), где \(k = 1 + \frac{p}{100}\) при повышении и \(k = 1 - \frac{p}{100}\) при снижении (у задач 527, 528, 550 модель того же вида, но проценты двух изменений там одинаковые). Если \(p_1 = x\), а \(p_2\) выражено через \(x\), то после умножения обеих частей на \(\frac{10\,000}{a_0}\) получается уравнение \((100 \pm x)(100 \pm p_2) = \frac{10\,000 \cdot a_2}{a_0}\) (плюс — при повышении, минус — при снижении), которое сводится к квадратному.

Входные данные: \(a_0\) и \(a_2\) — значения величины до и после двух изменений, \(a_0 > 0\), \(a_2 > 0\); вид каждого изменения; выражение \(p_2\) через \(x\) из условия задачи.
Выходные данные: \(p_1\) и \(p_2\).

Алгоритм решения:
1. Ввести \(a_0\), \(a_2\), вид каждого изменения и выражение \(p_2\) через \(x\).
2. Если \(a_0 > 0\) и \(a_2 > 0\), то выполнить шаги 3—5, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Составить уравнение \((100 \pm x)(100 \pm p_2) = \frac{10\,000 \cdot a_2}{a_0}\), раскрыть скобки и привести его к квадратному уравнению.
4. Вычислить дискриминант; если он отрицателен, то вывести «решений нет», иначе найти корни.
5. Оставить корни, при которых \(p_1 > 0\) и \(p_2 > 0\), а процент снижения меньше 100, и для каждого из них вывести \(p_1\) и \(p_2\).

Для чисел задачи 542: оба изменения — снижения, \(a_0 = 600\), \(a_2 = 432\), \(p_1 = x\), \(p_2 = 2x\).

\((100 - x)(100 - 2x) = \dfrac{10\,000 \cdot 432}{600};\)
\(2x^2 - 300x + 10\,000 = 7200;\)
\(2x^2 - 300x + 2800 = 0; \qquad | : 2\)
\(x^2 - 150x + 1400 = 0;\)
\(D = 150^2 - 4 \cdot 1400 = 22\,500 - 5600 = 16\,900 = 130^2;\)
\(x_1 = \dfrac{150 - 130}{2} = 10,\)
\(x_2 = \dfrac{150 + 130}{2} = 140.\)

Корень 140 не подходит: цену нельзя снизить на 140 %. Значит, \(p_1 = 10\), \(p_2 = 2 \cdot 10 = 20\) — цену одеяла снижали сначала на 10 %, потом на 20 %.

Задачи 546, 547, 548, 549.

Нужно найти: 546 — сколько меди и сколько цинка было в сплаве, если меди было на 12 кг больше, чем цинка, а после добавления 6 кг меди процентное содержание цинка снизилось на 5 единиц; 547 — сколько магния было в сплаве с 12 кг алюминия, если после добавления 5 кг магния процентное содержание магния увеличилось на 20 единиц; 548 — сколько тонн концентрированной серной кислоты, содержавшей 2 т воды, было в цистерне, если после добавления 4 т воды концентрация кислоты снизилась на 15 %; 549 — сколько килограммов соляной кислоты получили, если 2 кг хлористого водорода растворили в воде, а потом добавили ещё 9 кг хлористого водорода и повысили этим концентрацию на 25 %.

Задача в общем виде: смесь состоит из вещества и ещё одной части (воды или другого металла); к смеси добавили вещество или эту часть, и процентное содержание вещества изменилось на \(d\) единиц. По известным массам найти неизвестную массу.
Математическая модель: если до добавления масса вещества и масса смеси равны \(b_1\) и \(m_1\), а после добавления — \(b_2\) и \(m_2\), то разность процентных содержаний \(\frac{b_1}{m_1} \cdot 100\) и \(\frac{b_2}{m_2} \cdot 100\) (из большего вычитают меньшее) равна \(d\). Все массы выражаются через неизвестную массу \(x\), и получается дробное рациональное уравнение, которое сводится к квадратному.

Входные данные: известные массы частей смеси (или связь между ними), масса добавленной части, число \(d\) и вид изменения процентного содержания — повышение или снижение.
Выходные данные: неизвестная масса и найденные по ней массы частей смеси.

Алгоритм решения:
1. Ввести известные массы, массу добавленной части, число \(d\) и вид изменения.
2. Если введённые массы и число \(d\) положительны, то выполнить шаги 3—6, иначе вывести сообщение «неверные данные».
3. Обозначить неизвестную массу \(x\) и выразить через \(x\) массы \(b_1\), \(m_1\), \(b_2\), \(m_2\).
4. Составить уравнение: при повышении \(\frac{b_2}{m_2} \cdot 100 - \frac{b_1}{m_1} \cdot 100 = d\), при снижении \(\frac{b_1}{m_1} \cdot 100 - \frac{b_2}{m_2} \cdot 100 = d\).
5. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель и решить полученное квадратное уравнение; если корней нет, то вывести «решений нет».
6. Оставить корни, при которых все массы положительны и которые подходят по смыслу задачи, и вывести найденные массы.

Для чисел задачи 547: магния было \(x\) кг, тогда \(b_1 = x\), \(m_1 = x + 12\), \(b_2 = x + 5\), \(m_2 = x + 17\), а процентное содержание магния повысилось на \(d = 20\) единиц.

\(\dfrac{(x + 5) \cdot 100}{x + 17} - \dfrac{x \cdot 100}{x + 12} = 20; \qquad | : 20\)
\(\dfrac{5(x + 5)}{x + 17} - \dfrac{5x}{x + 12} = 1; \qquad | \cdot (x + 17)(x + 12)\)
\(5(x + 5)(x + 12) - 5x(x + 17) = (x + 17)(x + 12);\)
\(5x^2 + 85x + 300 - 5x^2 - 85x = x^2 + 29x + 204;\)
\(x^2 + 29x - 96 = 0;\)
\(D = 29^2 + 4 \cdot 96 = 841 + 384 = 1225 = 35^2;\)
\(x_1 = \dfrac{-29 + 35}{2} = 3,\)
\(x_2 = \dfrac{-29 - 35}{2} = -32.\)

Корень \(-32\) не подходит: масса не может быть отрицательной. Значит, в сплаве было 3 кг магния.

Ответ: типовых задач на процентные расчёты — 11; одинаковые математические модели у задач 522, 523, 524; 525, 526; 527, 528, 550; 529, 530; 531, 532, 533, 534; 536, 537; 538, 539; 540, 541; 542, 543, 544, 545; 546, 547, 548, 549, а у задачи 535 модель своя.