Дружим с компьютером § 12 на странице 284, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Решения неравенства \(ax^2 + bx + c > 0\) — это значения \(x\), при которых график функции \(y = ax^2 + bx + c\) расположен выше оси абсцисс. Положение параболы относительно оси абсцисс определяют знаки чисел \(a\) и \(D = b^2 - 4ac\): при \(a > 0\) ветви направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз; при \(D > 0\) у функции два нуля, при \(D = 0\) — один, при \(D < 0\) нулей нет. Отсюда шесть случаев расположения параболы (\(x_1\) и \(x_2\) — нули функции, \(x_1 < x_2\), \(x_0\) — абсцисса вершины):

Входные данные: \(a\), \(b\), \(c\) — коэффициенты, \(a \ne 0\).
Выходные данные: множество решений неравенства \(ax^2 + bx + c > 0\) или сообщение «решений нет».

Алгоритм:
1. Ввести \(a\), \(b\), \(c\).
2. Если \(a = 0\), то вывести сообщение «неверные данные» (неравенство не квадратное) и закончить работу.
3. Вычислить \(D = b^2 - 4ac\).
4. Если \(D > 0\), то вычислить корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) и обозначить меньший из них \(x_1\), а больший — \(x_2\). Если \(a > 0\) (случай 1), то вывести \((-\infty;\ x_1) \cup (x_2;\ +\infty)\), иначе (случай 4) вывести \((x_1;\ x_2)\).
5. Если \(D = 0\), то вычислить \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Если \(a > 0\) (случай 2), то вывести \((-\infty;\ x_0) \cup (x_0;\ +\infty)\), иначе (случай 5) вывести «решений нет».
6. Если \(D < 0\), то при \(a > 0\) (случай 3) вывести \((-\infty;\ +\infty)\), иначе (случай 6) вывести «решений нет».

Ответ: при \(a > 0\) решения неравенства \(ax^2 + bx + c > 0\) — \((-\infty;\ x_1) \cup (x_2;\ +\infty)\), если \(D > 0\), \((-\infty;\ x_0) \cup (x_0;\ +\infty)\), если \(D = 0\), и \((-\infty;\ +\infty)\), если \(D < 0\); при \(a < 0\) решения — \((x_1;\ x_2)\), если \(D > 0\), а при \(D \leqslant 0\) решений нет.

К входным данным надо добавить знак неравенства: \(>\), \(<\), \(\geqslant\) или \(\leqslant\).

Неравенства со знаками \(<\) и \(\leqslant\) сводятся к неравенствам со знаками \(>\) и \(\geqslant\). Если обе части неравенства умножить на \(-1\), знак неравенства изменится на противоположный: неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\) равносильно неравенству \(-ax^2 - bx - c > 0\), а неравенство \(ax^2 + bx + c \leqslant 0\) — неравенству \(-ax^2 - bx - c \geqslant 0\). Значит, достаточно заменить коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) числами \(-a\), \(-b\), \(-c\) и решать неравенство с противоположным знаком. Дискриминант при этом не меняется: \((-b)^2 - 4 \cdot (-a) \cdot (-c) = b^2 - 4ac\).

Нестрогое неравенство \(ax^2 + bx + c \geqslant 0\) отличается от строгого неравенства \(ax^2 + bx + c > 0\) тем, что его решениями являются ещё и нули функции — в них \(ax^2 + bx + c = 0\). Поэтому при \(D > 0\) числа \(x_1\) и \(x_2\) входят в ответ (скобки у них квадратные), при \(D = 0\) к ответу добавляется число \(x_0\), а при \(D < 0\) нулей нет и ответ тот же, что и для строгого неравенства.

Входные данные: \(a\), \(b\), \(c\) — коэффициенты, \(a \ne 0\), и знак неравенства — один из знаков \(>\), \(<\), \(\geqslant\), \(\leqslant\).
Выходные данные: множество решений неравенства или сообщение «решений нет».

Изменённый алгоритм:
1. Ввести \(a\), \(b\), \(c\) и знак неравенства.
2. Если \(a = 0\) или введён знак, отличный от \(>\), \(<\), \(\geqslant\), \(\leqslant\), то вывести сообщение «неверные данные» и закончить работу.
3. Если введён знак \(<\) или \(\leqslant\), то заменить \(a\), \(b\), \(c\) числами \(-a\), \(-b\), \(-c\), знак \(<\) — знаком \(>\), а знак \(\leqslant\) — знаком \(\geqslant\).
4. Вычислить \(D = b^2 - 4ac\).
5. Если \(D > 0\), то вычислить корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), меньший из них обозначить \(x_1\), больший — \(x_2\). Для знака \(>\) вывести \((-\infty;\ x_1) \cup (x_2;\ +\infty)\) при \(a > 0\) и \((x_1;\ x_2)\) при \(a < 0\); для знака \(\geqslant\) вывести \((-\infty;\ x_1] \cup [x_2;\ +\infty)\) при \(a > 0\) и \([x_1;\ x_2]\) при \(a < 0\).
6. Если \(D = 0\), то вычислить \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Для знака \(>\) вывести \((-\infty;\ x_0) \cup (x_0;\ +\infty)\) при \(a > 0\) и «решений нет» при \(a < 0\); для знака \(\geqslant\) вывести \((-\infty;\ +\infty)\) при \(a > 0\) и единственное решение \(x_0\) при \(a < 0\).
7. Если \(D < 0\), то для обоих знаков вывести \((-\infty;\ +\infty)\) при \(a > 0\) и «решений нет» при \(a < 0\).

Например, неравенство \(-9x^2 + 6x - 1 < 0\) после шага 3 принимает вид \(9x^2 - 6x + 1 > 0\): \(a = 9 > 0\), \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 0\), \(x_0 = \frac{6}{2 \cdot 9} = \frac{1}{3}\), и по шагу 6 его решения — все числа, кроме \(\frac{1}{3}\), то есть \(\left(-\infty;\ \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3};\ +\infty\right)\).
Неравенство \(0{,}2x^2 + 2x + 5 \leqslant 0\) после шага 3 принимает вид \(-0{,}2x^2 - 2x - 5 \geqslant 0\): \(a = -0{,}2 < 0\), \(D = (-2)^2 - 4 \cdot (-0{,}2) \cdot (-5) = 0\), \(x_0 = \frac{2}{2 \cdot (-0{,}2)} = -5\), и по шагу 6 неравенство имеет единственное решение \(-5\).

Ответ: к входным данным надо добавить знак неравенства; неравенства со знаками \(<\) и \(\leqslant\) сводятся к неравенствам со знаками \(>\) и \(\geqslant\) заменой \(a\), \(b\), \(c\) на \(-a\), \(-b\), \(-c\), а для знака \(\geqslant\) к решениям строгого неравенства добавляются нули функции: \(x_1\) и \(x_2\) при \(D > 0\), \(x_0\) при \(D = 0\).