Страница 262 номер 1034, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \frac{1}{2}ab\)

Первый катет \(a\)

Второй катет \(a + d\)

Гипотенуза \(a + 2d\)

По теореме Пифагора

\((a + 2d)^{2} = a^{2} + (a + d)^{2}\)
\(a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + a^{2} + 2ad + d^{2}\)
\(a^{2} - 2ad - 3d^{2} = 0\)
\(a^{2} + ad - 3ad - 3d^{2} = 0\)
\(a(a + d) - 3d(a + d) = 0\)
\((a - 3d)(a + d) = 0\)
\(a = 3d \Rightarrow d = \dfrac{a}{3}\)
\(a = - d\) не подходит по смыслу
\(b = a + \dfrac{a}{3} = \dfrac{4}{3}a\)
\(S = \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}a \cdot \dfrac{4}{3}a = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}a^{2} = \dfrac{2}{3}a^{2}\)

Ответ: \(S = \frac{2}{3}a^{2}\).