Дружим с компьютером § 2 на странице 282, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
К § 2 «Основные свойства числовых неравенств» Каким образом с помощью графического редактора продемонстрировать свойства числовых неравенств? Какие инструменты редактора можно при этом использовать?
Неравенство \(a > b\) означает, что на координатной прямой точка \(A(a)\) лежит правее точки \(B(b)\). Поэтому свойства числовых неравенств демонстрируют на координатной прямой: действие над обеими частями неравенства перемещает точки \(A\) и \(B\), и видно, сохраняется ли их порядок. Новые положения точек \(A\) и \(B\) обозначим \(A_1\) и \(B_1\). В графическом редакторе (например, Paint) перемещения точек выполняют инструменты выделения, растяжения и отражения.
Порядок действий в графическом редакторе:
1. Инструментом «Линия» при нажатой клавише Shift провести горизонтальный отрезок — координатную прямую — и двумя короткими отрезками дорисовать на правом конце стрелку; инструментом «Текст» подписать у стрелки букву \(x\).
2. Инструментом «Линия» нанести на прямую через равные промежутки короткие штрихи — деления (ровно расставить их помогают линии сетки) — и инструментом «Текст» подписать число 0.
3. Выделить прямую инструментом «Выделение», скопировать и вставить (клавиши Ctrl+C и Ctrl+V) и поставить копию под исходной прямой так, чтобы точки 0 оказались одна под другой: на нижней прямой показывают результат действия.
4. Инструментом «Овал» при нажатой клавише Shift нарисовать на верхней прямой точки с чёрной заливкой и инструментом «Текст» подписать их буквами и координатами, например \(B(1)\) и \(A(4)\).
5. Выделить на верхней прямой узкую полосу с точками (без подписей), скопировать её и вставить на нижнюю прямую, а затем сдвинуть, растянуть или отразить — так, как требует свойство. Новые точки подписать, а каждую точку соединить с её новым положением стрелкой (инструмент «Линия»).
Свойство «если \(a > b\) и \(b > c\), то \(a > c\)» показывают на одной прямой тремя точками \(C(-2)\), \(B(1)\), \(A(4)\). Точка \(A\) лежит правее точки \(B\), а точка \(B\) — правее точки \(C\), поэтому точка \(A\) лежит правее точки \(C\): из неравенств \(4 > 1\) и \(1 > -2\) следует неравенство \(4 > -2\).
Свойство «если \(a > b\) и \(c\) — любое число, то \(a + c > b + c\)»: прибавление числа \(c\) к обеим частям неравенства сдвигает обе точки на одно и то же расстояние — вправо, если \(c > 0\), и влево, если \(c < 0\). При \(c = 2\) полосу с точками \(B\) и \(A\) вставляют на нижнюю прямую и перетаскивают на 2 деления вправо. Расстояние между точками не меняется, и точка \(A_1(6)\) остаётся правее точки \(B_1(3)\): \(4 + 2 > 1 + 2\), то есть \(6 > 3\).
Свойство «если \(a > b\) и \(c\) — положительное число, то \(ac > bc\)»: при умножении на положительное число \(c\) каждая точка остаётся по ту же сторону от точки 0, а её расстояние до точки 0 умножается на \(c\) — прямая растягивается от точки 0 (при \(0 < c < 1\) — сжимается). При \(c = 2\) выделяют полосу верхней прямой от точки 0 до места правее точки \(A\), вставляют её на нижнюю прямую так, чтобы левый край снова пришёлся точно на точку 0, и командой «Изменить размер» растягивают по горизонтали до 200 % (по вертикали — 100 %). Порядок точек сохраняется: точка \(A_1(8)\) лежит правее точки \(B_1(2)\), то есть \(4 \cdot 2 > 1 \cdot 2\), или \(8 > 2\).
Свойство «если \(a > b\) и \(c\) — отрицательное число, то \(ac < bc\)» удобно показать при \(c = -1\): умножение на \(-1\) переводит каждую точку в точку, симметричную ей относительно точки 0, — это отражение прямой. Выделяют полосу верхней прямой, серединой которой служит точка 0 (от \(-5\) до 5), вставляют её на нижнюю прямую на то же место и командой «Повернуть → Отразить по горизонтали» переворачивают. Точки меняются местами: точка \(A_1(-4)\) оказывается левее точки \(B_1(-1)\), поэтому знак неравенства меняется на противоположный: \(4 \cdot (-1) < 1 \cdot (-1)\), то есть \(-4 < -1\). Умножение на другое отрицательное число, например на \(-2\), — это растяжение до 200 % и отражение, и порядок точек тоже меняется на противоположный.
Для такой демонстрации нужны инструменты «Линия» (прямая, деления, стрелки), «Овал» (точки), «Текст» (подписи), «Выделение» с копированием, вставкой и перетаскиванием (сдвиг точек), «Изменить размер» (растяжение) и «Повернуть → Отразить по горизонтали» (отражение).
Ответ: свойства числовых неравенств демонстрируют на координатной прямой, где неравенство \(a > b\) означает, что точка \(A(a)\) лежит правее точки \(B(b)\): свойство «если \(a > b\) и \(b > c\), то \(a > c\)» — расположением трёх точек, прибавление числа к обеим частям неравенства — сдвигом обеих точек на одно и то же расстояние, умножение на положительное число — растяжением или сжатием прямой от точки 0, умножение на \(-1\) — её отражением относительно точки 0; при сдвиге, растяжении и сжатии порядок точек сохраняется, а при отражении меняется на противоположный. Используются инструменты «Линия», «Овал», «Текст», «Выделение» (копирование, вставка, перетаскивание), «Изменить размер» и «Повернуть → Отразить по горизонтали».
