Дружим с компьютером § 4 на странице 282, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Решение неравенства с одной переменной — значение переменной, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство. На координатной прямой решение изображают закрашенной точкой. Если решения заполняют луч, над ним проводят дугу; число, от которого луч начинается, но которое решением не является, отмечают пустым кружком — «выколотой» точкой.

Порядок действий в графическом редакторе (например, Paint):
1. Инструментом «Линия» при нажатой клавише Shift провести горизонтальный отрезок — координатную прямую — и двумя короткими отрезками дорисовать на правом конце стрелку; инструментом «Текст» подписать у стрелки букву \(x\).
2. Инструментом «Кривая» провести над прямой дугу. Если решения заполняют луч, отрезок проводят от начала луча к месту над краем прямой и, потянув его у начала луча вверх, выгибают: дуга круто поднимается от точки и дальше идёт почти параллельно прямой. Если решение — любое число, дугу проводят над всей прямой, от края до края.
3. Инструментом «Овал» при нажатой клавише Shift нарисовать небольшие кружки поверх прямой и конца дуги: для числа, которое является решением, — с чёрной заливкой, для «выколотой» точки — с белой заливкой (сквозь белый кружок прямая не видна, и он выглядит пустым).
4. Инструментом «Текст» подписать числа под точками.
5. Для следующего пункта прямую заново не рисовать: выделить готовую прямую со стрелкой и буквой \(x\) инструментом «Выделение», скопировать и вставить (клавиши Ctrl+C и Ctrl+V), а затем повторить шаги 2—4.

Задание 98.

Нужно выяснить, является ли число \(1{,}99\) решением неравенства \(x < 2\), есть ли у этого неравенства решения, большие \(1{,}99\), и, если есть, привести пример такого решения.

Неравенство \(1{,}99 < 2\) верно, поэтому число \(1{,}99\) является решением неравенства \(x < 2\).

Решения неравенства \(x < 2\) — все числа, меньшие 2. Между числами \(1{,}99\) и 2 есть и другие числа, например их среднее арифметическое \(\frac{1{,}99 + 2}{2} = 1{,}995\). Число \(1{,}995\) больше \(1{,}99\), и неравенство \(1{,}995 < 2\) верно, поэтому решения, большие \(1{,}99\), существуют.

Число 2 решением не является — на координатной прямой точка 2 «выколота», а дуга над решениями идёт от неё влево. Числа \(1{,}99\) и \(1{,}995\) отмечают закрашенными точками под дугой. Эти числа очень близки к 2, поэтому изображают только участок прямой возле точки 2, в крупном масштабе.

Задание 99.

Нужно выяснить, является ли число \(4{,}001\) решением неравенства \(x > 4\), есть ли у этого неравенства решения, меньшие \(4{,}001\), и, если есть, привести пример такого решения.

Неравенство \(4{,}001 > 4\) верно, поэтому число \(4{,}001\) является решением неравенства \(x > 4\).

Решения неравенства \(x > 4\) — все числа, большие 4. Между числами 4 и \(4{,}001\) есть и другие числа, например их среднее арифметическое \(\frac{4 + 4{,}001}{2} = 4{,}0005\). Число \(4{,}0005\) меньше \(4{,}001\), и неравенство \(4{,}0005 > 4\) верно, поэтому решения, меньшие \(4{,}001\), существуют.

На координатной прямой точка 4 «выколота», а дуга над решениями идёт от неё вправо; числа \(4{,}0005\) и \(4{,}001\) отмечают закрашенными точками под дугой. Участок прямой возле точки 4 изображают в крупном масштабе.

Задание 106.

Нужно найти множество решений неравенства: 1) \(|x| > 0\); 2) \(|x| \leqslant 0\); 3) \(|x| < 0\); 4) \(|x| \leqslant -1\); 5) \(|x| > -3\); 6) \(\left|\frac{1}{x}\right| > -3\).

Модуль любого числа неотрицателен: \(|x| \geqslant 0\) при любом \(x\), причём \(|x| = 0\) только при \(x = 0\).

1) При \(x \ne 0\) модуль \(|x|\) положителен, и неравенство \(|x| > 0\) верно, а при \(x = 0\) получаем неверное неравенство \(0 > 0\). Множество решений — все действительные числа, кроме числа 0. Точка 0 «выколота», дуги идут от неё влево и вправо.

2) Неравенство \(|x| \leqslant 0\) верно, только когда \(|x| = 0\), то есть при \(x = 0\). Неравенство имеет единственное решение \(x = 0\): на прямой одна закрашенная точка 0, дуги нет.

3) Модуль числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство \(|x| < 0\) решений не имеет. Множество решений — пустое множество \(\varnothing\): на прямой не отмечено ни одной точки.

4) При любом \(x\) имеем \(|x| \geqslant 0 > -1\), поэтому неравенство \(|x| \leqslant -1\) решений не имеет. Множество решений — пустое множество \(\varnothing\): на прямой не отмечено ни одной точки.

5) При любом \(x\) имеем \(|x| \geqslant 0 > -3\), поэтому неравенство \(|x| > -3\) верно при любом значении \(x\). Множество решений — множество действительных чисел: дуга проходит над всей прямой.

6) При \(x = 0\) выражение \(\frac{1}{x}\) не имеет смысла, поэтому число 0 решением не является. При \(x \ne 0\) имеем \(\left|\frac{1}{x}\right| \geqslant 0 > -3\), и неравенство верно. Множество решений — все действительные числа, кроме числа 0: точка 0 «выколота», дуги идут от неё влево и вправо.

Наглядно продемонстрировать ход решения помогли инструменты «Овал» и «Кривая»: закрашенная точка показывает число, которое является решением, пустой кружок — число, которое решением не является, а дуга — всё множество решений. Инструменты «Линия» и «Текст» дают саму координатную прямую и подписи чисел, а «Выделение» с копированием и вставкой — одинаковые прямые для всех пунктов.

Ответ: 98: число \(1{,}99\) является решением неравенства \(x < 2\); решения, большие \(1{,}99\), существуют, например \(1{,}995\); 99: число \(4{,}001\) является решением неравенства \(x > 4\); решения, меньшие \(4{,}001\), существуют, например \(4{,}0005\); 106: 1) все действительные числа, кроме числа 0; 2) единственное решение \(x = 0\); 3) \(\varnothing\); 4) \(\varnothing\); 5) все действительные числа; 6) все действительные числа, кроме числа 0. Ход решения наглядно показывают инструменты «Овал» (закрашенная и «выколотая» точки) и «Кривая» (дуга над множеством решений), а также «Линия», «Текст» и «Выделение».