Страница 261 номер 1026, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Свойство трех последовательных членов арифметической прогрессии

\(a_{n} = \dfrac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} \Rightarrow 2a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}\)

Составим и решим систему уравнений

\(\begin{cases} a_{1} + a_{2} + a_{3} = 12 \\ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} = 80 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} a_{2} + 2a_{2} = 12 \\ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} = 80 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} a_{2} = \frac{12}{3} = 4 \\ a_{1}^{2} + 16 + a_{3}^{2} = 80 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} a_{2} = 4 \\ a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 64 \end{cases}\)
\(a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 64\)
\(\left( a_{2} - d \right)^{2} + \left( a_{2} + d \right)^{2} = 64\)
\(a_{2}^{2} - 2a_{2}d + d^{2} + a_{2}^{2} + 2a_{2}d + d^{2} = 64\)
\(16 + d^{2} + 16 + d^{2} = 64\)
\(2d^{2} = 32\)
\(d^{2} = 16\)
\(d = \pm 4\)
\(d = - 4 \Rightarrow \begin{cases} a_{1} = a_{2} - d = 4 + 4 = 8 \\ a_{3} = a_{2} + d = 4 - 4 = 0 \end{cases}\)
\(d = 4 \Rightarrow \begin{cases} a_{1} = a_{2} - d = 4 - 4 = 0 \\ a_{3} = a_{2} + d = 4 + 4 = 8 \end{cases}\)

Ответ: Искомые числа 0, 4, 8.