Дружим с компьютером § 26 на странице 287, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Возьмём бесконечную геометрическую прогрессию \(0{,}5;\ 0{,}25;\ 0{,}125;\ \ldots\) с первым членом \(b_1 = 0{,}5\) и знаменателем \(q = 0{,}5\). Так как \(|q| < 1\), у неё есть сумма \(S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0{,}5}{1 - 0{,}5} = 1\).

Таблица в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или LibreOffice Calc):
1. В G1 ввести подпись «b1 =», в H1 — число 0,5; в G2 — подпись «q =», в H2 — число 0,5.
2. В G3 ввести подпись «S =», в H3 — формулу =ЕСЛИ(H1*H2=0;"неверные данные";ЕСЛИ(ABS(H2)<1;H1/(1-H2);"суммы нет")). Функция ABS вычисляет модуль числа: сумма \(S = \frac{b_1}{1 - q}\) вычисляется только при \(|q| < 1\), а при \(b_1 = 0\) или \(q = 0\) появляется сообщение «неверные данные».
3. В A1, B1, C1, D1 ввести подписи \(n\), \(b_n\), \(S_n\), \(S\). В A2 ввести число 1, в A3 — формулу =A2+1 и протянуть её маркером заполнения (квадратиком в правом нижнем углу ячейки) до A11.
4. В B2 ввести =$H$1, в B3 — =B2*$H$2 и протянуть до B11: это члены прогрессии.
5. В C2 ввести =B2, в C3 — =C2+B3 и протянуть до C11: каждая следующая сумма равна предыдущей, сложенной со следующим членом, то есть \(S_{n+1} = S_n + b_{n+1}\).
6. В D2 ввести =$H$3 и протянуть до D11: в каждой строке — число \(S\); по этому столбцу на диаграмме проводится прямая на уровне \(S\).

Знак $ закрепляет адрес: при протягивании ссылки на H1, H2 и H3 не меняются, а остальные ссылки сдвигаются вместе с формулой.

Получается таблица (в столбце D везде число 1):

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline n & b_n & S_n \\ \hline 1 & 0{,}5 & 0{,}5 \\ \hline 2 & 0{,}25 & 0{,}75 \\ \hline 3 & 0{,}125 & 0{,}875 \\ \hline 4 & 0{,}0625 & 0{,}9375 \\ \hline 5 & 0{,}03125 & 0{,}96875 \\ \hline 6 & 0{,}015625 & 0{,}984375 \\ \hline 7 & 0{,}0078125 & 0{,}9921875 \\ \hline 8 & 0{,}00390625 & 0{,}99609375 \\ \hline 9 & 0{,}001953125 & 0{,}998046875 \\ \hline 10 & 0{,}0009765625 & 0{,}9990234375 \\ \hline \end{array}\]

Для графика выделить диапазон A1:D11 и вставить диаграмму «Точечная»: ряды \(b_n\) и \(S_n\) показать одними маркерами (график последовательности состоит из отдельных точек), ряд \(S\) — линией без маркеров.

Члены \(b_n\) с каждым шагом уменьшаются вдвое и стремятся к нулю, а суммы \(S_n\) возрастают и стремятся к числу \(S = 1\), но не достигают его. По формуле \(S_n = \frac{b_1}{1 - q} - \frac{b_1}{1 - q} \cdot q^n\) при \(b_1 = q = 0{,}5\) получаем \(S_n = 1 - 0{,}5^n\): разность \(S - S_n = 0{,}5^n\) с каждым шагом уменьшается вдвое, и уже \(S - S_{10} = 0{,}0009765625 < 0{,}001\).

Если ввести в H2 отрицательный знаменатель, например \(q = -0{,}5\), то \(S = \frac{0{,}5}{1 - (-0{,}5)} = \frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3}\), а суммы \(0{,}5;\ 0{,}25;\ 0{,}375;\ 0{,}3125;\ \ldots\) приближаются к \(\frac{1}{3}\) попеременно то с одной, то с другой стороны. При \(|q| \geqslant 1\) в ячейке H3 появится сообщение «суммы нет».

Ответ: при \(b_1 = 0{,}5\), \(q = 0{,}5\) суммы \(S_n = 1 - 0{,}5^n\) возрастают и стремятся к сумме бесконечной геометрической прогрессии \(S = 1\); например, \(S_{10} = 0{,}9990234375\).